5.1.2 弧度制 核心知识目标 核心素养目标 1.理解角度制与弧度制的概念,能对弧度和角度进行正确的转换. 2.体会引入弧度制的必要性,建立角的集合与实数集的一一对应关系. 3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式. 1.借助单位圆建立弧度制的概念,体会引入弧度制的必要性,重点提升学生的数学抽象的核心素养. 2.应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式解决相关问题,重点增强数学运算的核心素养. 1.角的单位制 (1)角度制 把周角分成360等份,每一份叫作1度的角,这种用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制. (2)弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角.以弧度作为单位来度量角的单位制,叫作弧度制,它的单位符号是rad,读作弧度. (3)角的弧度数的求法 在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为α rad,那么|α|=. 一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0. 2.角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°=2π rad 2π rad=360° 180°=π rad π rad=180° 1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=()°≈57°18′ 度数×=弧度数 弧度数×()°=度数 3.一些特殊角与弧度数的对应关系 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧 度 0 π 2π 4.弧长与扇形面积公式 公式 度量制 弧长公式 扇形面积公式 角度制 l= S= 弧度制 l=α·r (0<α<2π) S=lr=α r2 (0<α<2π) 1.120°化为弧度制是( B ) A. B. C. D. 解析:120°对应弧度为120×=.故选B. 2.(2021·福建三明高一期中)是( C ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析:因为=π+,所以是第三象限角.故选C. 3. rad= 度, rad=-300°. 解析:==15°,-300°=-300×=-. 答案:15 - 4.若扇形的弧长为2,面积为4,则扇形的圆心角为 弧度. 解析:设扇形半径为r,则由S=lr知r=4, 故圆心角α===. 答案: 角度与弧度的换算 [例1] 将下列角度与弧度进行互化. (1)20°;(2)-800°;(3);(4)-. 解:(1)20°=20× rad= rad. (2)-800°=-800×=-. (3)rad=×180°=105°. (4)-rad=-×180°=-396°. [即时训练1-1] 将下列角度与弧度进行互化. (1);(2)-;(3)10°;(4)-855°. 解:(1)=×180°=15 330°. (2)-=-×180°=-75°. (3)10°=10×=. (4)-855°=-855×=-. 在进行角度与弧度的换算时,抓住关系式π rad=180°是关键,由它可以得到:度数×=弧度数,弧度数×()°=度数. 用弧度表示角,涉及π时,直接保留π,不要将π写成小数. 角度与弧度综合应用 [例2] 在平面直角坐标系中,α=-,β的终边与α的终边分别有如下关系时,求β. (1)若α,β的终边关于x轴对称; (2)若α,β的终边关于y轴对称; (3)若α,β的终边关于原点对称. 解:如图,在平面直角坐标系中,α=-. (1)若α,β的终边关于x轴对称,则{β|β=+2kπ,k∈Z}. (2)若α,β的终边关于y轴对称,则{β|β=-+2kπ,k∈Z}. (3)若α,β的终边关于原点对称,则{β|β=+2kπ,k∈Z}. [即时训练2-1] 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(含边界),并判断2 014°是不是这个集合的元素. 解:因为150°=,所以终边落在阴影区域内角的集合为 S={β|+2kπ≤β≤+2kπ,k∈Z}. 因为2 014°=214°+5×360°=+10π, 又<<, 所以2 014°=+10π∈S. (1)用弧度制表示终边相同的角2kπ+α(k∈Z)时,其中2kπ是π的偶数倍,而不是整数倍. (2)在同一个式子中,角度与弧度不能混合用,必须保持单位统一,如α=2kπ+30°,k∈Z是不正确的写法. 扇形的弧长、面积公式的应用 [例3] 扇形AOB的面积是4 cm2,它的周长是10 cm,求扇形的圆心角α的弧度数及弦AB的长. 解:设扇形弧长为l cm,半径为r cm, 则由题意知 解得或 当r=1,l=8时, α==8>2π(舍去), 所以r=4,l=2,此时α== r ... ...
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