5.2 任意角的三角函数 5.2.1 任意角三角函数的定义 核心知识目标 核心素养目标 1.借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义. 2.能利用三角函数的定义,判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号. 通过对正弦函数、余弦函数、正切函数定义的理解与运用,重点发展学生的数学抽象和直观想象的核心素养. 1.用比值定义三角函数 (1)定义:设α是一个任意角,α∈R,在角α的终边OM上任取不同于原点O的点P,利用点P的坐标(x,y)定义: sin α=,cos α=,tan α=,其中r=. 以上三个比值分别称为角α的正弦、余弦、正切. (2)三角函数:y=sin α,y=cos α,y=tan α分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数.以上三种函数都称为三角函数.由于引入弧度制后,角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系,因此三角函数可以看成以实数为自变量的函数.在弧度制下,正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表所示: 三角函数 定义域 y=sin α R y=cos α R y=tan α {α|α≠+kπ,k∈Z} (3)用有向线段表示三角函数 如图单位圆中,将DP看作有方向的线段,D为起点,P为终点.当它指向y轴的正方向时,取正实数值y;当它指向y轴的负方向时,取负实数值y;当它的长度为0时,取零值.在所有的情况下都有DP=y=sin α,DP称为角α的正弦线. 同理OD=x=cos α,称为角α的余弦线,AT=tan α,称为角α的正切线.正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线. 2.三角函数值的符号 如图所示. 即正弦:一、二象限正,三、四象限负; 余弦:一、四象限正,二、三象限负; 正切:一、三象限正,二、四象限负. 简记口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 1.已知角α终边与单位圆的交点坐标为P(,),则cos α等于( B ) A. B. C. D.± 解析:由三角函数的定义可知,角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值,故cos α=.故选B. 2.已知sin α=,cos α=-,则角α所在的象限是( B ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:由sin α=>0得角α的终边在第一或第二象限;由cos α=-<0得角α的终边在第二或第三象限.综上,角α所在的象限是第二象限.故选B. 3.如图,在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( C ) A.正弦线PM,正切线A′T′ B.正弦线MP,正切线A′T′ C.正弦线MP,正切线AT D.正弦线PM,正切线AT 4.已知角α的终边过点P(5,a),且tan α=-,则a= ,sin α+cos α的值为 . 解析:根据三角函数的定义, tan α==-, 所以a=-12, 所以P(5,-12),r=13, 所以sin α=-, cos α=, 从而sin α+cos α=-. 答案:-12 - 三角函数的定义及应用 [例1] 设a<0,角α的终边与单位圆的交点为P(-3a,4a),求sin α+2cos α的值. 解:因为点P在单位圆上,则|OP|=1, 即=1,解得a=±. 因为a<0,所以a=-, 所以P点的坐标为(,-), 所以sin α=-,cos α=, 所以sin α+2cos α=-+2×=. [变式训练1-1] 若将本例条件改为“角α的终边过点P(-3a,4a)(a≠0)”,其结果又如何 解:r==5|a|. ①若a>0,则r=5a, 且sin α===,cos α===-, 所以sin α+2cos α=-2×=-; ②若a<0,则r=-5a, 且sin α==-,cos α==, 所以sin α+2cos α=-+2×=. [即时训练1-1] 已知角A的终边上一点P(15a,8a)(a∈R,且a≠0),求角A的三个三角函数值. 解:因为a∈R,且a≠0,点P(15a,8a), 所以r=|OP|==17|a|, 当a>0时,可得cos A==,sin A=,tan A=; 当a<0时,cos A==-,sin A=-,tan A=. 由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值 (1)已知角α的终边在直线上时,常用的解题方法有以下两种: ①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正弦函数、余弦函数、正切函数的定义求出相应三角函数值. ②在α的终边上任选一点P(x,y),P到原点的距离为r(r>0),则sin α=,cos α=,tan α=.已知α的终边求α的三角函数值时,用这几个公式更方便. (2)当角α的终边 ... ...
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