4.5.3 函数模型的应用 【学习目标】 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具. 2.能结合已知数据的特征,根据不同函数增长的差异,合理选择函数模型,并利用所建立的函数模型解决有关实际问题. ◆ 知识点一 指数函数模型 解析式:y=abx+c,条件:a,b,c为常数,a≠0,b>0,且b≠1. ◆ 知识点二 对数函数模型 解析式:y=mlogax+n,条件:m,n,a为常数,m≠0,a>0,且a≠1. ◆ 知识点三 应用函数模型解决问题的基本过程 用函数模型解应用题的四个步骤: (1)审题———弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型; (2)建模———将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型; (3)求模———求解数学模型,得出数学结论; (4)还原———将数学结论还原为实际问题的解. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述. ( ) (2)在函数建模中,散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型. ( ) (3)在不同的范围内,变量的对应关系不同时,可以选择分段函数模型. ( ) (4)函数y=×3x+1属于幂函数模型. ( ) ◆ 探究点一 指数函数模型 例1 某玩具公司计划到2034年将生产成本控制在80万元,要比2024年下降20%,假设这期间每一年生产成本降低的百分比都相等,记2024年后第x(x∈N*)年的成本支出为f(x)万元. (1)求2024年的生产成本为多少万元 (2)求f(x)的解析式. (3)按此计划,到哪一年,可以将该工厂的生产成本控制在45万元以内 (参考数据: lg 2≈0.30,lg 3≈0.48,lg 7≈0.85) 变式 科学家证实人体内HV病毒含量达到A0(A0为常数)时,人会得某种疾病,一种药物对HV病毒有抑制作用,服用该种药物后体内HV病毒含量y与服用的年数x之间满足关系y=A0ax(a>0且a≠1),2022年年初一位患者体内HV病毒含量恰好为A0,该患者开始服用该药,到2024年年初经检测该患者体内HV病毒含量为A0. (1)试确定y与x的函数关系式. (2)在医学上,当人体内HV病毒含量不超过A0时,称作该病痊愈,试问该患者需坚持服用该药到哪一年年初该病可痊愈 [素养小结] 在解决实际问题时,常见的增长率问题的解析式可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示. ◆ 探究点二 对数函数模型 例2 2024年10月30日4时27分,搭载神舟十九号载人航天飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.10月30日11时00分,神舟十九号载人航天飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接.我国在航天领域取得的巨大成就,得益于我国先进的运载火箭技术.根据火箭理想速度公式v=v0·ln,可以计算理想状态下火箭的最大速度v(单位:m/s),其中v0(单位:m/s)是喷流相对速度,m(单位:kg)是火箭(除推进剂外)的质量,M(单位:kg)是推进剂与火箭质量的总和,称为总质比.已知A型火箭的喷流相对速度为800 m/s,根据以上信息: (1)当总质比为50时,A型火箭的最大速度为 m/s; (2)经过材料更新和技术改进后,A型火箭的喷流相对速度提高到原来的2倍,总质比变为原来的,若要使火箭的最大速度至少增加800 m/s,则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为 .(所有结果保留整数,参考数据:ln 2≈0.693,ln 5≈1.609,e≈2.718) 变式 进入六月,青海湖特有物种湟鱼自湖中逆流而上,进行产卵.经研究发现湟鱼的游速v(单位:m/s)可以表示为v=log2,其中θ表示湟鱼每秒耗氧量的单位数. (1)当一条湟鱼每秒的耗氧量是500个单位时,它的游速约为多少(结果保留2位小数) (2)当一条湟鱼的游速提高1 m/s时,它每秒的耗氧量变为原来的多少倍 (参考数据: lg 2≈0.3) [素养小结] 直接以对数函数为模型的应用问题不是很多,此类问题一 ... ...
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