4.1 一元二次函数 基础巩固 1.二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,所得图象对应的函数表达式为( ) A.y=2(x+1)2+2 B.y=2(x-1)2+2 C.y=2(x+1)2-2 D.y=2(x-1)2-2 【答案】 B 【解析】 将二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位长度得到函数y=2x2+2的图象,再向右平移1个单位长度得函数y=2(x-1)2+2的图象.故选B. 2.某产品的利润y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系式为y=-2x2+40x+300,则利润y取最大值时,产量x等于( ) A.10 B.20 C.30 D.40 【答案】 A 【解析】 y=-2(x-10)2+500,当x=10时,y取最大值.故选A. 3.若想得到函数y=-3(x-2)2+1的图象,应将函数y=-3x2的图象( ) A.向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度 B.向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度 C.向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度 D.向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度 【答案】 C 【解析】 根据函数图象平移“左加右减,上加下减”规则,要得到函数y=-3(x-2)2+1的图象只需将函数y=-3x2的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,选项C正确.故选C. 4.设abc>0,一元二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是( ) A B C D 【答案】 D 【解析】 由A,C,D知,c<0,因为abc>0,所以ab<0,所以图象的对称轴方程x=->0,故A,C错误,D符合要求;由B知,c>0,所以ab>0,所以x=-<0,故B错误.故选D. 5.函数y=x2+3x+2在区间[-5,5]上的最大值、最小值分别是( ) A.12,- B.12,2 C.42,- D.42,2 【答案】 C 【解析】 y=x2+3x+2=(x+)2-,抛物线的图象开口向上,对称轴为直线x=-, 所以在区间[-5,5]上,当x=-时,y有最小值-;x=5时,y有最大值42. 所以函数y=x2+3x+2在区间[-5,5]上的最大值、最小值分别是42,-.故选C. 6.(多选题)对于函数y=2(x-3)2+1,下列说法正确的是( ) A.其图象开口向上 B.其图象的对称轴为直线x=-3 C.函数有最大值1 D.当x<3时,y随x的增大而减小 【答案】 AD 【解析】 因为x2的系数为2,所以其图象开口向上,所以A正确; 其图象的对称轴为直线x=3,所以B错误; 函数有最小值1,所以C错误; 当x<3时,y随x的增大而减小,所以D正确.故选A,D. 7.若y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图象关于直线x=1对称,则b= . 【答案】 6 【解析】 由题意知,a+2=-2,即a=-4, 又a+b=2,得b=6. 8.若函数y=(m-1)x2-x+1的图象总在x轴的上方,则实数m的取值范围为 . 【答案】 (,+∞) 【解析】 当m=1时,y=-x+1,它的图象不总在x轴的上方,不符合题意,所以m≠1.由题意可得解得m>.综上,实数m的取值范围为(,+∞). 9.已知抛物线y=ax2+6x-4与直线y=6x相交于点A(2,m). (1)求a的值; (2)请问该抛物线经过怎样的平移就可以得到 y=ax2的图象 【解】 (1)因为点A(2,m)在直线y=6x上,所以m=6×2=12. 把x=2,y=12代入y=ax2+6x-4中,求得a=1,所以y=x2+6x-4. (2)y=x2+6x-4=(x+3)2-13,所以其图象的顶点坐标为(-3,-13).所以把抛物线y=x2+6x-4向右平移3个单位长度得到y=x2-13的图象,再把y=x2-13的图象向上平移13个单位长度得到y=x2的图象. 10.已知点(-1,-8),(0,-3)在一元二次函数y=ax2+bx+c的图象上,且该函数在x=2处取得最大值. (1)求该二次函数的解析式; (2)求该二次函数在[-1,3]上的最大值与最小值. 【解】 (1)因为点(-1,-8),(0,-3)在一元二次函数y=ax2+bx+c的图象上,且该函数在x=2处取得最大值,所以有解得所以该二次函数的解析式为y=-x2+4x-3. (2)易知该二次函数图象的开口向下,且对称轴为直线x=2∈[-1,3],所以当x=2时,y取得最大值,最大值为-4+8-3=1.因为直线x=-1离直线x=2更远,所以当x=-1时,y取得最小值,最小值为-8. 能力提升 11.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[-1,m]上有最大值6,最小值2,则m的取值范围是( ) A.[1,+∞) B.[0,3] C.(-∞,2] D.[1,3] 【答案】 D 【解析】 因为函数y= ... ...
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