4.2 简单幂函数的图象和性质 【课程标准要求】 1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式,提升数学抽象的核心素养.2.以五个常见的幂函数为载体,归纳幂函数的图象与性质,提升直观想象、逻辑推理的核心素养. 知识点一 幂函数的概念 一般地,形如y=xα(α为常数)的函数,即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数. 知识点二 幂函数的图象与性质 幂函数 y=x y=x2 y=x3 y=x-1 y= 图象 性 质 定义域 R R R {x|x≠0} [0,+∞) 值域 R [0,+∞) R {y|y≠0} [0,+∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数 单调性 在(-∞,+∞) 上单调递增 在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增 在(-∞,+∞) 上单调递增 在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递减 在[0,+∞)上单调递增 定点 (1,1) 知识拓展 一般幂函数的图象特征 (1)所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图象都过点(1,1). (2)当α>0时,幂函数的图象过原点,并且在区间[0,+∞)上单调递增.特别地,当α>1时,幂函数的图象下凸;当0<α<1时,幂函数的图象上凸. (3)当α<0时,幂函数在区间(0,+∞)上单调递减. (4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y=x对称. (5)在第一象限,作直线x=a(a>1),它同各幂函数图象相交,按交点从下到上的顺序,对应的幂指数按从小到大的顺序排列. 题型一 幂函数的概念 [例1] 已知幂函数f(x)=(3m2-2m)xm是定义域上的奇函数,则m等于( ) A.- B.1 C. D.-或1 【答案】 D 【解析】 因为函数f(x)=(3m2-2m)xm是幂函数,所以由幂函数的定义,得3m2-2m=1, 解得m=1或m=-. 当m=1时,f(x)=x是定义域上的奇函数,满足题意; 当m=-时,f(x)=是定义域上的奇函数,满足题意. 所以m=1或m=-.故选D. 幂函数y=xα的三个条件 (1)系数为1. (2)指数为常数. (3)后面不加任何项. [变式训练] 有下列函数:①y=x3;②y=x2+2x;③y=4x2;④y=x5+1;⑤y=(x-1)2;⑥y=x. 其中幂函数的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】 B 【解析】 ②中解析式为多项式,③中系数不是1,④中解析式为多项式,⑤中底数不是自变量本身,所以只有①⑥是幂函数.故选B. 题型二 幂函数的图象 [例2] 如图,曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象,已知n取±2,±四个值,则对应曲线C1,C2,C3,C4的n依次为( ) A.-2,-,,2 B.2,,-,-2 C.-,-2,2, D.2,,-2,- 【答案】 A 【解析】如图,作直线x=2,分别交四条曲线于A,B,C,D四点. 由于n取±2,±四个值,当x=2时,对应的四个函数值为2-2,,,22. 因为2-2<<<22, 故四个点的纵坐标依次为2-2,,,22. 由四个点的位置关系,四个函数图象对应的n的值从下而上依次为-2,-,,2. 故选A. 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小. ①在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低); ②在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=或y=x3)来判断. [变式训练] 若幂函数y=(m∈Z)的图象如图所示,则m的值为( ) A.-2或0 B.-1 C.0 D.-2 【答案】 A 【解析】 由幂函数在第一象限的单调性可得m2+2m-3<0,解得-3,所以()0.5>()0.5. (2)因为幂函数y=x-1在(-∞,0)上单调递减,且-<-,所以(-)-1>(-)-1. (3)因为函数y1=在[0,+∞)上单调递增, 且>1,所以> =1. 又因为函数y2=在[0,+∞)上单调递增, 且<1,所以< = ... ...
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