1.1 利用函数性质判定方程解的存在性 【课程标准要求】 1.了解函数的零点的概念,理解函数的零点与方程的根的关系,提升数学抽象的核心素养.2.掌握零点存在定理,会探究在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法,提升数学抽象与逻辑推理的核心素养. 知识点一 函数的零点 1.概念 使得f(x0)=0的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点. 2.方程、函数、图象之间的关系 函数f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,也就是方程f(x)=0的解. [思考1] 函数的零点是一个点吗 提示:函数的零点不是一个点,而是具体的自变量的取值. [思考2] 函数的零点与方程的根有什么联系和区别 函数与方程之间有何联系 提示:(1)联系.①数值上相等:求函数的零点可以转化成求对应方程的根; ②存在性一致:方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点. (2)区别.零点对于函数而言,根对于方程而言. 函数与方程有着密切的联系,函数问题有时可转化为方程问题,同样,有些方程问题可以转化为函数问题来求解,这正是函数与方程思想的基础. [问题] 观察以下函数的图象. (1)在区间(a,b)上 (填“有”或“无”)零点,f(a)·f(b) 0(填“<”或“>”); (2)在区间(b,c)上 (填“有”或“无”)零点,f(b)·f(c) 0(填“<”或“>”); (3)在区间(c,d)上 (填“有”或“无”)零点,f(c)·f(d) 0(填“<”或“>”). 提示:(1)有 < (2)有 < (3)有 < 知识点二 零点存在定理 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即f(a)·f(b)<0,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解. [思考3] 若函数y=f(x)满足在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内的零点一定是唯一的吗 提示:不一定.如f(x)=x3-x在区间[-2,2]上有f(2)·f(-2)<0,但f(x)在区间(-2,2)内有三个零点-1,0,1. [思考4] 若函数y=f(x)满足在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,并且有f(a)·f(b)>0,是不是说明函数y=f(x)在区间(a,b)内没有零点 提示:不是.函数y=f(x)在区间(a,b)内也可能有零点.如f(x)=x2-1,在区间[-2,2]上有f(-2)·f(2) >0,但在区间(-2,2)内有两个零点-1,1. [思考5] 函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点,是不是一定有f(a)·f(b)<0 提示:不一定.如f(x)=x2在区间(-1,1)上有零点0,但是f(-1)·f(1)=1×1=1>0. 题型一 函数零点的理解 角度1 根据函数的解析式求函数的零点 [例 1] (1)函数f(x)=log3(x-1)-2的零点为( ) A.10 B.9 C.(10,0) D.(9,0) (2)(多选题)已知函数s(x)=则函数h(x)=s(x)-x的零点是( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】 (1)A (2)ABC 【解析】 (1)令f(x)=log3(x-1)-2=0, 即log3(x-1)=2=log332,所以x-1=32, 即x=10,所以函数f(x)=log3(x-1)-2的零点为10.故选A. (2)令h(x)=s(x)-x=0, 当x>0时,有1-x=0,则x=1; 当x=0时,有0-x=0,则x=0; 当x<0时,有-1-x=0,则x=-1. 故函数h(x)=s(x)-x的零点是-1,0,1.故选A,B,C. 利用函数的解析式求函数的零点的方法 根据零点的定义,解方程f(x)=0,它的实数根就是函数y=f(x)的零点. [变式训练] (多选题)若函数f(x)=ax+b只有一个零点3,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是( ) A.- B.0 C. D.-3 【答案】 AB 【解析】 由题意知3a+b=0,所以b=-3a,a≠0,所以g(x)=-3ax2-ax=-ax(3x+1),使g(x)=0,则x=-或x=0.故选A,B. 角度2 确定函数零点所在区间 [例2] (1)函数y=ln x-的零点所在的大致区间是( ) A.(,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(e,+∞) (2)设函数y=x3与y=()x-2的图象的交点为(x0,y0),若x0∈(n,n+1),n∈N,则x0所在的区间是 . 【答案】 (1)C (2)(1,2) 【解析】 (1)y=f(x)=ln x-的定 ... ...
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