【学霸笔记：同步精讲】第三章 探究课2 f (x)＋g(x)，f (x)g(x)和f (g(x))的单调性 讲义--2026版高中数学人教B版必修第一册

　f (x)＋g(x)，f (x)g(x)和f (g(x))的单调性 1．一般地，设函数f (x)，g(x)的定义域均为A． (1)若函数f (x)，g(x)都是增(减)函数，则函数f (x)＋g(x)在定义域A上为增(减)函数． (2)函数f (x)，g(x)都是增(减)函数，则函数f (x)g(x)在定义域A上的单调性不确定． 2．一般地，设函数f (x)的定义域为F，g(x)的定义域为G，且g(x)的值域为F的子集． (1)若f (x)，g(x)都是增(减)函数，则f (g(x))为增函数． (2)若f (x)是增(减)函数，g(x)是减(增)函数，则f (g(x))为减函数． 上面的性质可简单概括为“同增异减”． 【典例】　探究复合函数的单调性 对于复合函数f (g(x))，设t＝g(x)在(a，b)上是单调函数，且y＝f (t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也是单调函数，那么f (g(x))在(a，b)上的单调性如表所示： t＝g(x) y＝f (t) y＝f (g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 试证明：(1)若t＝g(x)在(a，b)上是增函数，且y＝f (t)是增函数，则f (g(x))在(a，b)上是增函数． (2)若t＝g(x)在(a，b)上是增函数，且y＝f (t)是减函数，则f (g(x))在(a，b)上是减函数． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．求函数f (x)＝的单调区间． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．已知函数f (x)在定义域[0，＋∞)上单调递减，求f (1－x2)的单调递减区间． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1/1　f (x)＋g(x)，f (x)g(x)和f (g(x))的单调性 1．一般地，设函数f (x)，g(x)的定义域均为A． (1)若函数f (x)，g(x)都是增(减)函数，则函数f (x)＋g(x)在定义域A上为增(减)函数． (2)函数f (x)，g(x)都是增(减)函数，则函数f (x)g(x)在定义域A上的单调性不确定． 2．一般地，设函数f (x)的定义域为F，g(x)的定义域为G，且g(x)的值域为F的子集． (1)若f (x)，g(x)都是增(减)函数，则f (g(x))为增函数． (2)若f (x)是增(减)函数，g(x)是减(增)函数，则f (g(x))为减函数． 上面的性质可简单概括为“同增异减”． 【典例】　探究复合函数的单调性 对于复合函数f (g(x))，设t＝g(x)在(a，b)上是单调函数，且y＝f (t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也是单调函数，那么f (g(x))在(a，b)上的单调性如表所示： t＝g(x) y＝f (t) y＝f (g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 试证明：(1)若t＝g(x)在(a，b)上是增函数，且y＝f (t)是增函数，则f (g(x))在(a，b)上是增函数． (2)若t＝g(x)在(a，b)上是增函数，且y＝f (t)是减函数，则f (g(x)) ... ...