【学霸笔记：同步精讲】第三章 微专题3 函数性质的综合应用 讲义--2026版高中数学人教B版必修第一册

微专题3　函数性质的综合应用 函数的性质是历年高考命题的热点，主要有判断函数的单调性、奇偶性，根据单调性、奇偶性确定函数值、参数值，奇偶性与单调性相结合解不等式问题等考查方向，有时也与后面将要学习的知识相结合，体现了对逻辑推理、直观想象等核心素养的考查． 类型1　分段函数的单调性 【例1】　若函数f (x)＝在R上是增函数，则实数a的取值范围为(　　) A．(1，＋∞)　　　　 B．[4，8) C．[1，4) D．[2，8) [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型2　函数的奇偶性 【例2】　定义在R上的函数f (x)对任意实数a，b都有f (a＋b)＋f (a－b)＝2f (a)f (b)成立，且f (0)≠0． (1)求f (0)的值； (2)试判断f (x)的奇偶性． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例3】　判断函数f (x)＝的奇偶性． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型3　抽象函数的单调性 【例4】　设f (x)是定义在R上的函数，对m，n∈R，恒有f (m＋n)＝f (m)f (n)(f (m)≠0，f (n)≠0)，且当x>0时，00； (3)求证：f (x)在R上是减函数． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型4　函数性质的综合应用 【例5】　已知函数f (x)＝为偶函数． (1)判断函数f (x)在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明； (2)当x∈(其中m＞n＞0)时，函数f (x)的值域恰为[3－9m，3－9n]，求正实数m，n的值． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 ... ...