【学霸笔记：同步精讲】第一章 微专题1 利用数轴、维恩图解决集合问题 讲义--2026版高中数学人教B版必修第一册

微专题1　利用数轴、维恩图解决集合问题 在集合的关系与运算中，特别是涉及集合的交集、并集、补集时，往往要对集合的可能情况进行分类讨论，运算量较大，容易出错，而若能巧用数轴、维恩图求解集合问题，就会直观、形象，从而简化解题步骤，提高解题效率． 类型1　利用数轴解决集合的运算 问题 【例1】　已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，( UA)∪B，A∩( _U B)) ) ，( UA)∪( UB)． [解]　如图，首先在数轴上表示出全集U和集合A，B． 这样A∩B＝{x|－2≤x≤2}， UA＝{x|x<－2或32}． 若( RA)∪B＝R，如图， 则a≤0且a＋3≥2，即－1≤a≤0， ∴满足( RA)∪B≠R的实数a的取值范围是{a|a<－1或a>0}． (2)若A∩B＝A，则A B． 又A≠ ，则得即－1≤a≤0． ∴当A∩B≠A时，a的取值范围为{a|－1≤a≤0}的补集，即{a|a<－1或a>0}． 类型3　利用数轴解决集合运算中求参数范围问题 【例3】　已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x<－1或x>16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围． (1)A∩B＝ ；(2)A (A∩B)． [解]　(1)若A＝ ，则A∩B＝ 成立． 此时2a＋1>3a－5，即a<6． 若A≠ ，如图所示， 则解得6≤a≤7． 综上，满足条件A∩B＝ 的实数a的取值范围是{a|a≤7}． (2)因为A (A∩B)， 所以A∩B＝A，即A B． 显然A＝ 满足条件，此时a<6． 若A≠ ，如图所示， 则或 由解得a∈ ． 由解得a>． 综上，满足条件A (A∩B)的实数a的取值范围是． 类型4　利用维恩图解决集合中元素问题 【例4】　设全集U＝{不大于20的质数}，M，P是U的两个子集，且满足M∩( UP)＝{3，5}，( UM)∩P＝{7，19}，( UM)∩( UP)＝{2，17}，求集合M，P． [解]　根据题意，全集U＝{不大于20的质数}＝{2，3，5，7，11，13，17，19}． 由M∩( UP)＝{3，5}可知， 3∈M，5∈M且3 P，5 P； 由( UM)∩P＝{7，19}可知，7∈P，19∈P且7 M，19 M；又由( UM)∩( UP)＝{2，17}可知， 2 M，17 M，2 P，17 P． 这样依次可画出维恩图，结合图示对11，13分别进行分析， 可知11，13在两个集合的交集内． 因此集合M＝{3，5，11，13}，P＝{7，11，13，19}． 微专题强化练(一)　利用数轴、维恩图解决集合问题 一、选择题 1．若集合A＝{x|－23}，则A∩B＝(　　) A．{x|－23}＝{x|－2