【学霸笔记：同步精讲】第二章 微专题2 不等式恒成立、能成立问题 讲义--2026版高中数学人教B版必修第一册

微专题2　不等式恒成立、能成立问题 不等式恒成立、能成立问题是高考中的热点内容，它以多种形式出现在高中数学的各个分支中，扮演着重要的角色．求解含参不等式的恒成立问题的关键是转化与化归思想．一般而言，针对不等式的表现形式，有如下三种解题策略：判别式法、分离变量法、变更主元法．能成立问题的解题方法可转化为求函数最值问题． 1．判别式法 有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化为二次函数或一元二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决． 2．分离变量法 如果能够将参数分离出来，建立明确的参数和变量x的关系，那么可以利用函数的最值求解．a>y恒成立 a>ymax，aymin或m0对于满足10可转化为a>． 令y＝＝－2＋． ∵<<1，∴当＝， 即x＝2时，函数取得最大值， ∴a>，即实数a的取值范围为． 【例3】　对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px>4x＋p－3恒成立，试求x的取值范围． [解]　不等式x2＋px>4x＋p－3恒成立，即(x－1)p＋(x2－4x＋3)>0，设y＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)是以p为自变量的函数， 则0≤p≤4时y>0恒成立． 即 解得x<－1或x>3． 所以x的取值范围是{x|x<－1或x>3}． 【例4】　若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围． [解]　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞0， ∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立， ∴m≥2x2－8x＋6能成立， 令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2， ∴m≥－2，∴实数m的取值范围为[－2，＋∞)． 微专题强化练(二)　不等式恒成立、能成立问题 一、选择题 1．若不等式kx2＋2kx－3＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　) A．{k|－3＜k＜0} B．{k|－3≤k≤0} C．{k|－3≤k＜0} D．{k|－3＜k≤0} D　[当k＝0时，－3＜0显然成立；当k≠0时，由题意可得 解得－3＜k＜0． 即k的取值范围为{k|－3＜k≤0}．] 2．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是(　　) A．[－4，1] B．[－4，3] C．[1，3] D．[－1，3] B　[由x2－(a＋1)x＋a≤0得(x－a)(x－1)≤0， 若a＝1，不等式的解集为{1}符合题意， 若a＜1，不等式的解集为[a，1]， 若满足[a，1] [－4，3]，则－4≤a＜1， 若a＞1，不等式的解集为[1，a]， 若满足[1，a] [－4，3]，则1＜a≤3， 综上，－4≤a≤3，即实数a的取值范围是[－4，3]．] 3．命题“ x∈R，2kx2＋kx－<0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．k∈(－3，0) B．k∈(－3，0] C．k∈(－3，1) D．k∈(－3，＋∞) A　[因为 x∈R，2kx2＋kx－<0为真命题，所以k＝0或所以－3