【学霸笔记：同步精讲】第三章 3.1 3.1.2 第1课时 单调性的定义与证明 讲义--2026版高中数学人教B版必修第一册

3.1.2　函数的单调性 第1课时　单调性的定义与证明 学习任务 1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(直观想象) 2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间．(逻辑推理) 3．理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(数学运算) 德国心理学家艾宾浩斯对人类的记忆牢固程度进行了有关研究．经过测试，他得到了以下一些数据： 时间间隔t刚记忆完毕20分钟后60分钟后8～9小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y (百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1 以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数．艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图． 问题　(1)当时间间隔t逐渐增大时你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？ (2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？ 知识点1　函数单调性的概念 条件 一般地，设函数y＝f (x)的定义域为D，且区间I D：如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时 都有_____ 都有_____ 结论 y＝f (x)在区间I上是增函数(也称在区间I上单调递增) y＝f (x)在区间I上是减函数(也称在区间I上单调递减) 图示 (1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同区间上可以有不同的单调性． (2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质． (3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即f (x)是增(减)函数且f (x1)x2)． (4)若f (x)在区间I上为增(减)函数，则函数f (x)的图象在区间I上的对应部分自左向右逐渐上升(下降)． 1．增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2　函数的单调性与单调区间 如果函数y＝f (x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有_____． 如果一个函数在其整个定义域内具有单调性，则称此函数是单调函数． 1．函数的单调区间是其定义域内的某一个区间，如函数y＝x2＋2x－1的单调递减区间(－∞，－1] (－∞，＋∞)，故在讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域． 2．由于函数在单独的一个x值处不存在单调性，因此写单调区间时可以包括区间端点，也可以不包括，但单调区间一定不包括使函数无意义的x的值． 3．一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接． 2．函数y＝在定义域上是减函数吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点3　函数的最值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数f (x)的定义域为D，且x0∈D；如果对任意x∈D 都有f (x)__f (x0) 都有f (x)__f (x0) 结论 则称f (x)的最大值为f (x0)，而x0称为f (x)的最大值点 则称f (x)的最小值为f (x0)，而x0称为f (x)的最小值点 统称 最大值和最小值统称为____ 最大值点和最小值点统称为_____ 1．如果(a，b)，(c，d)都是函数f (x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1