【学霸笔记：同步精讲】3.4 函数的应用(一) 讲义----2026版高中数学人教A版必修第一册

3.4　函数的应用(一) [学习目标]　1．初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用． 2．能将实际问题转化为熟悉的模型，建立合适的数学模型解决简单的实际问题．(数学建模) [教用·问题初探]———通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．你能总结一下建立数学模型解决简单的实际问题的过程吗？ 问题2．建立数学模型解决简单的实际问题的方法有哪些？ 探究1　一(二)次函数模型的应用 [典例讲评]　1．为了迎接“五一”小长假的购物高峰，某商场决定将一批进价为40元/件的商品降价出售，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下表所示的关系． 馗 x/元 … 40 50 55 60 … y/件 … 60 30 15 0 … (1)根据表中提供的数据，确定y与x的一个函数关系式y＝f (x)； (2)设经营此商品的日销售利润为L(x)(单位：元)，根据上述关系，写出L(x)关于x的函数解析式，并求日销售利润的最大值． [解]　(1)观察表格中x，y的变化情况，猜测f (x)为一次函数，故设f (x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)， 则解得 则f (x)＝－3x＋180，40≤x≤60， 把点(50，30)，(55，15)代入函数解析式，检验成立， 所以f (x)＝－3x＋180，40≤x≤60． (2)结合(1)中结论可得日销售利润为L(x)＝(x－40)(－3x＋180)＝－3x2＋300x－7 200，40≤x≤60， 则L(x)＝－3(x－50)2＋300， 所以当x＝50时，L(x)取得最大值300， 综上，L(x)＝－3x2＋300x－7 200，40≤x≤60， 所以当销售单价为50元时，所获日销售利润最大值为300元． 　根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题． 提醒：取得最值时的自变量与实际意义是否相符． [学以致用]　1．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ [解]　(1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简 得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)． (2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润， 所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N)． (3)因为w＝－3x2＋360x－9 600 ＝－3(x－60)2＋1 200， 所以当x<60时，w随x的增大而增大． 又50≤x≤55，x∈N， 所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125． 所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元． 探究2　幂函数模型的应用 [典例讲评]　2．(源自湘教版教材)某企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润y(万元)与投资额x(万元)成正比，其关系如图(1)所示；B产品的利润y(万元)与投资额x(万元)的算术平方根成正比，其关系如图(2)所示． (1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资额的函数； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元(结果精确到1万元) [解]　(1)设投资额为x万元，A产品的利润为f (x)万元，B产品的利润为g(x)万元， 由题设f (x)＝k1x，g(x)＝k2， 由题图可知f (1)＝，所以k1＝， 又g(4)＝，所以k2＝， 所以f (x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)． (2)设A产品投入x万元，则B产品投入(10－x)万元，设企业的利润为y万元， y＝f (x)＋g(10－x)＝(0≤x≤10)， 令＝t，0≤t≤， 则y＝(0≤t≤) ... ...