【学霸笔记：同步精讲】4.1 4.1.1 n次方根与分数指数幂 讲义----2026版高中数学人教A版必修第一册

4.1　指数 4.1.1　n次方根与分数指数幂 [学习目标]　1．理解n次方根、根式的概念．(数学抽象) 2．能正确运用根式的运算性质化简、求值．(数学运算) 3．会对根式和分数指数幂进行转化．(逻辑推理) 4．掌握并运用有理数指数幂的运算性质化简、求值．(数学运算) [教用·问题初探]———通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．n次方根是怎样定义的？ 问题2．根式的定义是什么？它有哪些性质？ 问题3．有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？ 问题4．根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？ 问题5．如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？ 探究1　n次方根 问题1　若x2＝2，则这样的x有几个？它们叫做2的什么？如何表示？ 提示：若x2＝2，则这样的x有两个，它们叫做2的平方根，即为±． 问题2　若x3＝2，则这样的x有几个？它们叫做2的什么？如何表示？ 提示：若x3＝2，则这样的x有一个，它们叫做2的立方根，即为． [新知生成] 1．n次方根的定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做 a的n次方根，其中n>1，且n∈N*． 2．a的n次方根的表示 n a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) 3．根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 4．根式的性质(n>1，且n∈N*) (1)负数没有偶次方根． (2)0的任何次方根都是0，记作＝0． (3)根据n次方根的意义，可得()n＝a． (4)n为奇数时，＝a． n为偶数时， 【教用·微提醒】　(1)是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制． (2)()n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围，其运算结果恒等于a． [典例讲评]　【链接教材P105例1】 1．化简： (1)()5＋()6(b>a)； (2)－(－3b)； (2)()2＋＋． [解]　(1)∵a>b，∴＝|a－b|＝a－b． (2)由题意知a－1≥0，即a≥1． 原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1． 【教材原题·P109习题4.1T1】求下列各式的值： (1)；(2)；(3)；(4)． [解]　(1)＝100； (2)＝－0.1； (3)＝|π－4|＝4－π； (4) 探究2　分数指数幂 问题3　(1)观察下列各式，你能得出什么结论？ ①＝＝22＝； ②＝＝44＝． (2)类比(1)的规律，，能否表示为分数指数幂的形式？如何表示？ 提示：(1)当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式． (2)能．＝＝． [新知生成] 分数指数幂的意义 正分数指数幂 规定：(a>0，m，n∈N*，n>1) 负分数指数幂 规定：(a>0，m，n∈N*，n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 【教用·微提醒】　分数指数幂是根式的一种写法，不可理解为个a相乘． [典例讲评]　2．用分数指数幂表示下列各式： (1)(a>0)；(2)； (3)(a>0)；(4)(y>0)． [解]　(1)＝． (2)＝． (3)． (4)＝． 　根式与分数指数幂互化的规律 根指数分数指数的 ... ...