【学霸笔记：同步精讲】4.3 4.3.2 第2课时 换底公式 讲义----2026版高中数学人教A版必修第一册

第2课时　换底公式 [学习目标]　1．掌握换底公式及其推论．(逻辑推理) 2．能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算．(数学运算) 探究1　对数的换底公式 问题1　通过上一课时的学习，我们知道lg 15＝lg 3＋lg 5，即lg 15可以用lg 3，lg 5表示．能不能借助lg 3，lg 5的值算出log35的值呢？ _____ _____ _____ 问题2　是否对任意的logab都可以表示成logab＝？说出你的理由． _____ _____ _____ [新知生成] 1．对数换底公式：logab＝． 2．对数换底公式的重要推论 (1)logaN＝． logab(a>0，且a≠1，b>0，n≠0)． (3)logab·logbc·logcd＝_____(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 特别地logab·logba＝1． [典例讲评]　1．(源自北师大版教材)计算： (1)log4＋log23－log0.5； (2)(log32＋log23)2－． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 [学以致用]　【链接教材P126练习T3】 1．求值： (1)(log43)·； (2)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)． _____ _____ _____ 探究2　对数运算中的条件求值问题 [典例讲评]　2．(1)若2a＝5b＝20，则＝(　　) A．0 　 B．1 C．2 　 D．3 (2)已知log37＝a，2b＝3，试用a，b表示log1456． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　利用对数式与指数式互化求值的方法 (1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化． (2)对于连等式，可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解． [学以致用]　2．(1)已知log23＝a，log27＝b，则用a，b表示log4256＝(　　) A． 　 B． C． 　 D． (2)已知3a＝5b＝c，且＝2，则c＝_____． _____ _____ _____ 探究3　实际问题中的对数运算 [典例讲评]　【链接教材P126例5】 3．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传送速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，若不改变信道带宽W，而将信噪比从1 000提升至5 000，则C大约增加了(附：lg 2≈0.301 0)(　　) A．20% 　 B．23% C．28% 　 D．50% [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　关于对数运算在实际问题中的应用 (1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算． (2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算． [学以致用]　【链接教材P127习题4.3T10】 3．某科研小组研发一种水稻新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代15粒种子，则种子数量首次不少于10万粒的是(　　) (参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) A．第5代种子 　 B．第6代种子 C．第7代种子 　 D．第8代种子 _____ _____ _____ 1．(多选)下列等式正确的有(　　) A．log34＝ 　 B．log34＝ C．log34＝ 　 D．log34＝ 2．(教材P127习题4.3T5改编)已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36＝(　　) A． 　 B． C． 　 D． 3．一段时间内，某养兔基地的兔子快速繁殖，兔子总只数的倍增期为21个月(假设没有捕杀与其他损耗)．那么一万只兔子增长到一亿只兔子大约需要(附：lg 2≈0.3)(　　) A．23年 　 B．22年 C．21年 　 D．20年 4．求下列各式的值： (1)log210×lg 4＝_____； (2)log23×8＝_____； (3)log34×log45×log56×log67×log78×log89＝_____． 1．知识链： 2．方法链：换底公式、转化法． 3．警示牌：要注 ... ...