【学霸笔记：同步精讲】4.4 4.4.2 对数函数的图象和性质(二) 讲义----2026版高中数学人教A版必修第一册

4.4.2　对数函数的图象和性质(二) [学习目标]　能解决与对数型函数的单调性、值域、奇偶性等相关的问题．(逻辑推理、数学运算) [教用·问题初探]———通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．反函数与原函数的图象间存在怎样的联系？ 问题2．如何判断对数型函数的单调性、值域、奇偶性？ 探究1　反函数 问题　(1)函数f (x)＝2x与g(x)＝log2x的定义域、值域之间有什么关系？ (2)在同一坐标系中，函数f (x)＝2x与g(x)＝log2x的图象有什么关系？ 提示：(1)f (x)的定义域、值域分别是g(x)的值域、定义域．(2)f (x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称． [新知生成] 1．一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．其图象间的关系，如图①②所示． 2．互为反函数的两个函数的性质 (1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． (2)原函数的图象过点(a，b)，反函数的图象必过点(b，a)． (3)原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域． (4)互为反函数的两个函数的单调性相同． 1．【教材原题·P140习题4.4T7】判断下列各对函数是否互为反函数．若是，则求出它们的定义域和值域： (1)y＝ln x，y＝ex； (2)y＝－logax，y＝． [解]　(1)求y＝ln x的反函数有x＝ln y y＝ex．故y＝ln x，y＝ex互为反函数． y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，值域为R．y＝ex的定义域为R，值域为(0，＋∞)． (2)求y＝－logax的反函数有x＝－logay y＝a－x＝．故y＝－logax，y＝互为反函数． y＝－logax的定义域为(0，＋∞)，值域为R．y＝的定义域为R，值域为(0，＋∞)． 2．【教材原题·P141习题4.4T8】设y＝f (x)表示摄氏温度为x时，华氏温度为y， (1)如果函数y＝f (x)的反函数是y＝g(x)，那么y＝g(x)表示什么？ (2)如果f (30)＝86，那么求g(86)，并说明其实际意义． [解]　 (1)因为y＝f (x)表示摄氏温度为x时，华氏温度为y，则其反函数自变量与因变量交换，即y＝g(x)表示华氏温度为x时，摄氏温度为y． (2)由(1)可得g(86)＝30．f (30)＝86说明摄氏温度为30时，华氏温度为86．g(86)＝30说明华氏温度为86时，摄氏温度为30． 探究2　对数型复合函数的单调性 [典例讲评]　1．讨论函数f (x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性． [解]　由3x2－2x－1＞0得函数的定义域为． ①当a＞1时，若x＞1，则u＝3x2－2x－1单调递增， ∴f (x)＝loga(3x2－2x－1)单调递增； 若x＜－，则u＝3x2－2x－1单调递减， ∴f (x)＝loga(3x2－2x－1)单调递减． ②当0＜a＜1时，若x＞1，则f (x)＝loga(3x2－2x－1)单调递减；若x＜－，则f (x)＝loga(3x2－2x－1)单调递增． 综上知，当a>1时，f (x)在(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减； 当00，且a≠1)的函数的单调区间的求法： 第一步：求函数f (x)的定义域； 第二步：求函数g(x)在定义域上的单调区间； 第三步：应用复合函数单调性的“同增异减”原则，得出f (x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的单调区间． [学以致用]　1．已知函数y＝在区间(－∞，)上单调递增，求实数a的取值范围． [解]　令g(x)＝x2－ax＋a，g(x)在上单调递减，∵0<<1，∴y＝g(x)是关于g(x)的减函数．而已知复合函数y＝在区间(－∞，)上单调递增， ∴只要g(x)在(－∞，)上单调递减，且g(x)>0在x∈(－∞，)上恒成立， 即 ∴2≤a≤2(＋1)， 故所求实数a的取值范围是[2，2＋2]． 探究3　对数型复合函数的值域 [典例讲评]　2．求下列函数的值域： (1)y＝； (2)函数f (x)＝，x∈． [解]　(1)设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4． 因为u>0，所以0