【学霸笔记：同步精讲】4.4 4.4.2 对数函数的图象和性质(一) 讲义----2026版高中数学人教A版必修第一册

4.4.2　对数函数的图象和性质(一) [学习目标]　1．初步掌握对数函数的图象和性质．(直观想象、数学抽象) 2．会利用对数函数的单调性比较大小．(逻辑推理、数学运算) [教用·问题初探]———通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．对数函数的图象是什么形状？你能画出y＝log2x与y＝的图象吗？ 问题2．通过对数函数的图象，你能观察到函数的哪些性质？ 探究1　对数函数的图象和性质 问题1　请同学们先完成下列表格，再利用描点法在同一坐标系下画出对数函数y＝log2x和y＝图象． x … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 … y＝log2x … … y＝ … … 提示： x … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 … y＝log2x … －2 －1 0 1 2 3 4 5 … y＝ … 2 1 0 －1 －2 －3 －4 －5 … 对数函数y＝log2x和y＝的图象如图． 问题2　在问题1所画图象的基础上，再画出函数y＝log3x和y＝的图象，并说出这四个函数图象的特征． 提示：同一坐标系中函数的图象如图． (1)函数y＝log2x和y＝log3x的图象从左到右是上升的． (2)函数y＝的图象从左到右是下降的． (3)函数y＝log2x和y＝的图象关于x轴对称，同样，函数y＝log3x和y＝的图象也关于x轴对称． (4)这四个函数的定义域均为(0，＋∞)，值域为R，都过定点(1，0)． [新知生成] 对数函数的图象和性质 项目 a>1 01时，底数越大，图象越靠近x轴． (3)底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称． [典例讲评]　1．(1)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　) A．0b>1 　 D．b>a>1 (2)已知f (x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)满足f (－5)＝1，试画出函数f (x)的图象． (1)B　[作直线y＝1(图略)，其与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1．故选B．] (2)[解]　因为f (－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5， 故f (x)＝log5|x|＝ 所以函数y＝log5|x|的图象如图所示． [母题探究]　把本例(2)改为f (x)＝|log2(x＋1)|＋2，试画出其图象． [解]　第一步：作y＝log2x的图象，如图①所示． ①　　　　　　　　② 第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图②所示． 第三步：将y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图③所示． 第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图④所示． ③　　　　　　　　④ 　函数图象的变换规律 (1)作y＝f (|x|)的图象时，保留y＝f (x)(x>0)的图象不变，x<0时y＝f (|x|)的图象与y＝f (x)(x>0)的图象关于y轴对称． (2)作y＝|f (x)|的图象时，保留y＝f (x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可． (3)有关对数函数图象的平移也符合“左加右减，上加下减”的规律． (4)y＝f (－x)与y＝f (x)的图象关于y轴对称，y＝－f (x)与y＝f (x)的图象关于x轴对称，y＝－f (－x)与y＝f (x)的图象关于原点对称． [学以致用]　1．(1)函数f (x)＝loga(2x＋1)(a>0，且a≠1)的图象一定过点(　　) A． 　 B．(1，0) C．(0，0) 　 D．(0，1) (2)已知函数f (x)＝loga(x－b)(a>0，且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是(　　) A．a>0，b<－1 ... ...