【学霸笔记：同步精讲】4.5 4.5.2 用二分法求方程的近似解 讲义----2026版高中数学人教A版必修第一册

4.5.2　用二分法求方程的近似解 [学习目标]　1．通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．(数学抽象) 2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，借助信息技术，用二分法求方程的近似解．(逻辑推理、数学运算) 探究1　二分法的概念 问题1　有8个质量不均匀的小球，只有一个比别的都重，为了找出这个小球，某同学在天平的两端各放了4个小球，发现天平右端较低，于是他把右端的4个小球均分成两组，重新放在天平两端，此时他又发现天平左端较低，于是他把左端的两个球重新置于天平两端，每端一球，发现天平左端较低，于是找到了较重的小球． 上述寻找较重小球的试验体现了什么思想方法？ _____ _____ _____ [新知生成] 二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且_____的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间_____，使所得区间的两个端点_____，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． [典例讲评]　1．(1)(多选)下列函数图象与x轴均有交点，其中能用二分法求图中函数零点的是(　　) A　　　　　B　　　　　C　　　　D (2)已知f (x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出，则c的值是(　　) A．9 　 B．8 C．7 　 D．6 [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　运用二分法求函数的零点应具备的两个条件 (1)函数图象在零点附近连续不断． (2)在该零点左右函数值异号． 只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点． [学以致用]　【链接教材P155习题4.5T1】 1．用二分法求如图所示的函数f (x)的零点时，不可能求出的零点是(　　) A．x1 　 B．x2 C．x3 　 D．x4 探究2　用二分法求函数零点的近似值 问题2　已知函数f (x)＝x3－3在区间(1，2)内存在零点，如何用二分法缩小零点所在区间的范围？ _____ _____ _____ [新知生成] 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f (x)零点x0的近似值的一般步骤如下： 1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证_____． 2．求区间(a，b)的中点_． 3．计算f (c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f (c)＝0(此时x0＝c)，则_就是函数的零点； (2)若f (a)f (c)<0(此时x0∈_____)，则令b＝c； (3)若f (c)f (b)<0(此时x0∈_____)，则令a＝c． 4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4． 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断． [典例讲评]　【链接教材P146例2】 2．用二分法求2x＋x＝4在区间(1，2)内的近似解(精确度为0.2)． 参考数据： x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875 2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67 [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　利用二分法求方程近似解的过程图示 [学以致用]　【链接教材P155习题4.5T4、T5】 2．(多选)用二分法求函数f (x)＝5x＋7x－2的一个零点，其参考数据如下： x 0.062 5 0.093 75 0.125 0.156 25 0.187 5 f (x) －0.456 7 －0.180 9 0.097 8 0.379 7 0.664 7 根据上述数据，可得f (x)＝5x＋7x－2的一个零点近似值(精确度为0.05)为(　　) A．0.625 　 B．0.093 75 C．0.125 　 D．0.096 1．用二分法求函数f (x)在区间(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是(　　) A．|a－b|<0.1 　 B．|a－b|<0.001 C．|a－b|>0.001 　 D．|a－b|＝0.001 2．(教材P155习题4.5T1改编)已知函数f (x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的零点的个数分别为(　　) A．4，4 　 B．3，4 C．5，4 　 D．4，3 3．用二分法研究函数f (x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (1)>0，可得其中一个零点x0∈(0，1)，那么经过下一次计算可得x0∈_____(填区间)． 4．用二分法求函数f (x)＝3x－x－4的一个零点，其 ... ...