【学霸笔记：同步精讲】5.2 5.2.1 第1课时 任意角三角函数的定义 课件----2026版高中数学人教A版必修第一册

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第五章 三角函数 5.2　三角函数的概念 5.2.1　三角函数的概念 第1课时　任意角三角函数的定义 [学习目标]　借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(数学抽象、直观想象) [教用·问题初探]———通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．任意角的三角函数的定义是什么？ 问题2．结合教材例1、例2，你能总结一下计算三角函数值的方法吗？ 探究建构 关键能力达成 探究1　三角函数的概念 问题　如图，如果一个锐角α的终边与单位圆的交点是P(x，y)，结合直角三角形中正弦、余弦、正切的定义，用点P的坐标如何表示sin α，cos α，tan α？ 提示：sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)． [新知生成] 任意角的三角函数的定义 条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y) 定义 正弦 把点P的_____叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝_____ 余弦 把点P的_____叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝_____ 纵坐标y sin α 横坐标x cos α 定义 正切 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan α(x≠0) 三角函数 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数y＝sin x，x∈R； 余弦函数y＝cos x，x∈R； 正切函数y＝tan x，x∈ 【教用·微提醒】　(1)三角函数值是比值，是一个实数． (2)三角函数值的大小只与角的大小有关． [典例讲评]　【链接教材P178例1】 1．(源自北师大版教材)在单位圆中，α＝－． (1)画出角α； (2)求角α的正弦函数值和余弦函数值． [解]　(1)如图，以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为始边，顺时针旋转，与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点M．于是α＝∠MOP＝－即为所作的角． (2)设点P(u，v)，则u＝，sin ，cos ． 【教材原题·P178例1】 例1　求的正弦、余弦和正切值． [解]　在直角坐标系中，作∠AOB＝(图5.2-3)．易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为．所以，sin ，cos ，tan ＝－． 反思领悟　首先求出角的终边与单位圆交点的坐标，然后利用任意角的三角函数的定义求解． [学以致用]　【链接教材P180练习T2】 1．求的正弦、余弦和正切值． [解]　在直角坐标系中，作∠AOB＝(如图)．易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为，所以sin ，cos ，tan ． 【教材原题·P180练习T2】利用三角函数定义，求的三个三角函数值． [解]　在直角坐标系中，作∠AOB＝(图略)，易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为，所以sin ，cos ，tan ． 探究2　坐标法求三角函数值 角度1　角的终边过定点 [典例讲评]　【链接教材P179例2】 2．若角α的终边经过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值． [解]　因为r＝＝5|a|， ①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限， sin α＝，cos α＝， 所以2sin α＋cos α＝＝1． ②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限， sin α＝， cos α＝， 所以2sin α＋cos α＝－＝－1． 故2sin α＋cos α的值为1或－1． 【教材原题·P179例2】 例2　如图5.2-4，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r．求证： sin α＝，cos α＝，tan α＝． 分析：观察图5.2-5，由△OMP∽△OM0P0，根据三角函数的定义可以得到证明． [证明]　如图5.2-5，设角α的终边与单位圆交于点P0(x0，y0)．分别过点P，P0作x轴的垂线PM，P0M0，垂足分别为M，M0，则 P0M0＝|y0|，PM＝|y|， OM0＝|x0|，OM＝|x|， △OMP∽△OM0P0． 于是， 即|y0|＝． 因为y0与y同号，所以 y0＝， 即sin α＝． 同理可得 cos α＝，tan α＝． ... ...