【学霸笔记：同步精讲】微专题4 函数性质的综合问题 课件----2026版高中数学人教A版必修第一册

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 微专题4　函数性质的综合问题 第三章 函数的概念与性质 函数的性质包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值等，函数性质的应用一般有两种类型：一种是应用已知函数的性质解决问题；另一种是探究函数所具有的性质并利用性质解决问题． 探究1　证明函数图象的对称性 [典例讲评]　1．(源自人教B版教材)求证：二次函数f (x)＝x2＋4x＋6的图象关于x＝－2对称． [证明]　任取h∈R，因为f (－2＋h)＝(－2＋h)2＋4(－2＋h)＋6＝h2＋2， f (－2－h)＝(－2－h)2＋4(－2－h)＋6＝h2＋2， 所以f (－2＋h)＝f (－2－h)， 这就说明函数f (x)的图象关于x＝－2对称． 反思领悟　(1)要证明函数f (x)的图象关于x＝h对称，只需证明对定义域内的任意x，满足f (h－x)＝f (h＋x)． (2)要证明函数f (x)的图象关于点(a，b)对称，只需证明对定义域内的任意x，满足f (a＋x)＋f (a－x)＝2b． [学以致用]　【链接教材P87习题3.2T13】 1．证明函数 f (x)＝的图象关于点(－1，1)对称． [证明]　函数f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)． 任取x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， ∵f (－1＋x)＋f (－1－x)＝＝2， 即f (－1＋x)＋f (－1－x)＝2×1， ∴f (x)的图象关于点(－1，1)对称． 【教材原题·P87习题3.2T13】我们知道，函数y＝f (x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f (x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)－b为奇函数． (1)求函数f (x)＝x3－3x2图象的对称中心； (2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f (x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为偶函数”的一个推广结论． 分析：(1)将函数f (x)的解析式经过适当的变形，得出y＝f (x＋1)＋2＝x3－3x，构造函数g(x)，利用奇偶性的定义证明g(x)为奇函数，根据题设条件即可得出函数f (x)＝x3－3x2图象的对称中心； (2)将“函数y＝f (x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形”，类比为“函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形”，再将“函数y＝f (x＋a)－b为奇函数”，类比为“函数y＝f (x＋a)为偶函数”，即可写出结论． [解]　(1)∵f (x)＝x3－3x2＝(x－1)3－3(x－1)－2， ∴y＝f (x＋1)＋2＝x3－3x． 设g(x)＝x3－3x，则g(－x)＝(－x)3－3(－x)＝－x3＋3x＝－g(x)． ∴g(x)为奇函数． ∴f (x)＝x3－3x2的图象关于点(1，－2)对称． 即f (x)＝x3－3x2图象的对称中心是点(1，－2)． (2)函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)为偶函数． 探究2　函数性质的综合应用 [典例讲评]　2．已知函数 f (x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且 f ． (1)确定函数f (x)的解析式； (2)用定义法证明f (x)在(－1，1)上单调递增； (3)解不等式：f (t－1)＋f (t)<0． [解]　(1)根据题意得 即 解得∴f (x)＝，x∈(－1，1)． (2)证明： x1，x2∈(－1，1)，且x10，1＋>0，1－x1x2>0， ∴f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)