2.3.1圆的标准方程 学案（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

2.3.1圆的标准方程 学习目标 1.掌握圆的定义及标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程． 2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程． 3.会判断点和圆的位置关系． 重难点 重点：圆的标准方程的求法，会判断点和圆的位置关系 难点：圆的标准方程的应用 思考：如图所示，设平面直角坐标系中的 的圆心坐标为 ，而且半径为 2 ．（1）判断点 是否在 上； （2）设 是平面直角坐标系中任意一点，那么 在 上的充要条件是什么？此时 要满足什么关系式？ 根据圆的定义可知，一个点在 上的充要条件是这个点到圆心 的距离等于半径．因为 ，所以可知点 在 上． 同样， 在 上的充要条件是 ，由两点间的距离公式有 ，因此 要满足 一般地，如果平面直角坐标系中 的圆心为 ，半径为 ，设 为平面直角坐标系中任意一点，则点 在 上的充要条件是 ，即 ，两边平方，得 ① 上述充要条件表明， 上任意一点 的坐标 满足方程 ①；如果平面上一点 的坐标 满足方程 ①，可得 ，则点 在 上．因此方程 ① 能表示以点 为圆心， 为半径的圆， ① 式通常称为圆的标准方程． 为了方便起见，同直线中的情形一样，我们称圆 时，指的是方程为 的圆． 知识梳理 1.圆的几何要素：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的 . 其中定点是 ，定长是圆的 . 2.圆的标准方程：方程称为圆心为 ，半径为 的圆的标准方程. 3.点在圆内还是圆外的判断方法：如果圆C的圆心为，半径为r（r > 0），则点在圆C外的充要条件是 ，点在圆C内的充要条件是 . 四、例题讲解 例 1 根据下列条件，求圆的标准方程： （1）圆心在点 ，且过点 ； （2）过点 和点 ，半径为 ． 例 2 如图所示，设 的圆心 在直线 上，且 都是 上的点，求圆的标准方程． 例 3 赵州桥位于我国河北省，是我国现存最早、保存最好的巨大石拱桥．如图所示，赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，利用解析几何的方法，用赵州桥的跨度 和圆拱高 表示出赵州桥圆弧所在圆的半径． 五、课堂练习 1.圆心为，半径的圆的标准方程为( ) A. B. C. D. 2.已知圆M的方程为，则圆心M的坐标是( ) A. B. C. D. 3.圆的圆心坐标和半径分别为( ) A.，2 B.， C.，2 D.，2 4.圆的圆心和半径分别是( ) A. B. C. D. 5.圆的圆心坐标为( ) A. B. C. D. 6.圆的半径长等于( ) A.2 B. C. D.1 7.已知一个圆的标准方程为，则此圆的圆心与半径分别为( ) A.，4 B.， C.，4 D.， 8.以为圆心，4为半径的圆的标准方程为( ) A. B. C. D. 9.已知，，则以AB为直径的圆的方程是_____. 10.若点在圆的内部，则a 的取值范围是_____. 六、课后练习 1.以，为直径的两个端点的圆的方程为( ) A. B. C. D. 2.已知点，，则以为直径的圆的方程为( ) A. B. C. D. 3.圆的圆心到直线的距离为( ) A.1 B.2 C. D. 4.点与圆的位置关系为( ) A.点在圆外 B.点在圆内 C.点在圆上 D.与m的值有关 5.若点在圆的外部，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.（多选）下列说法错误的是( ) A.圆的圆心为，半径为5 B.圆的圆心为，半径为 C.圆的圆心为，半径为 D.圆的圆心为，半径为 7.（多选）以直线与两坐标轴的一个交点为圆心，且过另一个交点的圆的方程可能为( ) A. B. C. D. 8.经过两点和，且圆心在x轴上的圆的方程为_____. 9.点在圆的内部，则a的取值范围是_____. 10.直线与x轴、y轴分别交于点A，B，则以线段AB为直径的圆的方程为_____. 答案及解析 三、知识梳理 1.集合 圆心 半径 2. r 3. 四、例题讲解 例题1 解：（1）所求圆的半径 又因为圆心为 ，所以所求圆的方程为 . （2）设圆心坐标为 ，则圆的方程为 ．因为 是圆上的点，所以 ，解得 因此，所求圆的方程为 例题2 解：（方法一）设所求圆的方程为 ，由题意得 解得 3，，．因此所求圆的方程为 . 解：（方法二）设线段 的垂直平分线为 ，则 既 ... ...