3．3 幂函数【导学】 导学目标： 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式. 2.结合幂函数的图象，掌握它们的性质(重点). 3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小(重点). 【知识要点】 1.幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 2.幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x-1 图 像 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值 域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 (－∞，0)减， (0，＋∞) 增 增 增 (－∞，0)和 (0，＋∞)减 公共点 (1,1) 3.幂函数的图象 幂函数在第一象限内指数变化规律： 在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小. (1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1. (2)如果α＞0，则幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数. (3)如果α＜0，则幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数. 【典型例题】 题型一 幂函数的解析式 注意：判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 【例1-1】在函数①y＝，②y＝x3，③y＝2x，④y＝3，⑤y＝-2x2，⑥中，是幂函数的是( ) A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥ 【例1-2】已知幂函数，且为偶函数，求函数的解析式． 【例1-3】已知幂函数的图像经过第二象限，且在区间上单调递减，则一个符合要求的 . . 题型二 幂函数的图象及性质 【例2-1】如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（ ） A． B． C． D． 【例2-2】图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则指数的值依次可以是（ ） A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3 【例2-3】已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P， 画出f(x)的图象。 指出该函数的定义域与单调区间． 判断奇偶性。 题型三 利用幂函数的性质比较大小 比较幂值大小的方法 (1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数． (2)若指数不同，底数相同，则考虑借助图象求解． (3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小． 【例3-1】比较下列各组数中两个数的大小： (1)； （2） 【例3-2】比较下列各组数中两个数的大小 (1)； （2） 【例3-3】已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 题型四 幂函数图象过定点问题 【例4-1】（多选）以下关于幂函数图像的说法，正确的有（ ） 的图像一定过原点 B．的图像一定过点 C．的图像可能经过第三象限 D．的图像可能经过第四象限 【例4-2】已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（ ） A． B． C． D． 【例4-3】（多选）已知函数为幂函数，则下列结论正确的为（ ） A． B．为偶函数 C．为单调递增函数 D．的值域为 ... ...
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