1.3.1 空间直角坐标系 课时练习（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.3.1空间直角坐标系 一、选择题 1．已知＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则点A的坐标为(　　) A．(12，14，10) B．(10，12，14) C．(14，10，12) D．(4，2，3) 2．已知点N与点M(1，－2，3)关于x轴对称，则点N的坐标为(　　) A．(1，2，－3) B．(－1，－2，3) C．(－1，－2，－3) D．(1，－2，－3) 3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝2，M，N分别为A1C1，CD1的中点，如图所示建系，则MN的中点的坐标为(　　) A．(2，3，3) B． C． D．(0，－1，－1) 4．已知A(1，2，－1)，B为A关于平面Oxy的对称点，C为B关于y轴的对称点，则C的坐标为(　　) A．(－2，0，－2) B．(2，0，2) C．(－1，2，－1) D．(0，－2，－2) 5．(多选)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则(　　) A．点B1的坐标为(4，5，3) B．点C1关于点B对称的点为(5，8，－3) C．点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3) D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0) 6．在空间直角坐标系Oxyz中，若点M(a，b＋3，2c＋1)关于y轴的一个对称点M′的坐标为(－4，－2，15)，则a＋b＋c的值(　　) A．10 B．－17 C．－9 D．2 7．设点M为不在坐标平面上的点．若点M关于坐标平面Ozx的对称点记为M1，M1关于坐标原点的对称点为M2，则M关于以下哪条坐标轴对称可以得到M2(　　) A．x轴 B．y轴 C．z轴 D．以上都不对 8．(多选)已知单位向量i，j，k两两的夹角均为θ，若空间向量a满足a＝xi＋yj＋zk(x，y，z∈R)，则有序实数组(x，y，z)称为向量a在“仿射”坐标系Oxyz(O为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作a＝(x，y，z)θ，则下列命题是真命题的有(　　) A．已知a＝(1，3，－2)θ，b＝(4，0，2)θ，则a·b＝0 B．已知a＝(x，y，0)，b＝(0，0，z)，其中x，y，z>0，则当且仅当x＝y时，向量a，b的夹角取得最小值 C．已知a＝(x1，y1，z1)θ，b＝(x2，y2，z2)θ，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ D．已知＝(1，0，0)＝(0，1，0)＝(0，0，1)，则三棱锥O-ABC的表面积S＝ 二、填空题 9．已知{i，j，k}是空间的一个单位正交基底，向量b＝－5i＋2k用坐标形式可表示为_____． 10．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，连接A1B，B1C，如图，建立空间直角坐标系． 则的坐标为_____，的坐标为_____． 11．三棱锥P-ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M，N分别是PC，AC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则向量的坐标为_____． 12．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为_____；在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为_____． 三、解答题 13．如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分别为底面ABCD，底面A1B1C1D1的中心，AB＝6，AA1＝4，M为B1B的中点，点N在C1C上，且C1N∶NC＝1∶3． (1)以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标； (2)以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标． 14．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量的坐标． 15．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：i，j，k分别为“斜60°坐标系”下三条数 ... ...