4.2.5 正态分布 学案（含答案）——2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

4.2.5正态分布 学习目标 了解正态曲线的概念及性质 了解正态分布的概念，理解正态分布的均值、方差及其含义 了解标准正态分布的概念及性质，并借助查表求出相应的概率值. 重难点 重点：理解正态分布的均值、方差及其含义、性质，会求相应的均值、方差 难点：正态分布的均值、方差，3事件判断 新知识导入 已知 X 服从参数为 100，0.5的二项分布，即X~B(100，0.5)，你能手工计算出 P(X=50)的值吗？ 如果要手工计算 P(X=50)，是一个“几乎不可能”完成的任务，即使是一般的计算器也难以胜任类似的计算. 是否存在一个函数φ(x)，它对应的图象能够近似呢？ 如果这样的函数存在的话，要计算X落在某区间内的概率，只需计算对应曲线与x轴在适当区间所围成的面积即可. 三、知识梳理 1.由，知 的解析式中含有 和 两个参数，其中：，即 X 的均值； ，即 X 的标准差. 一般地， 对应的图象称为 （也因形状而被称为“ ”， 也常常记为 ）. 2.正态曲线的性质： （1）正态曲线关于 对称（即 决定正态曲线 的位置），具有 的特点； （2）正态曲线与 x 轴所围成的图形面积为 ； （3） 决定正态曲线的“胖瘦”： 越大，说明标准差越大，数据的集中程度 ，所以曲线越“胖”； 越小，说明标准差越小，数据的集中程度 ，所以曲线越“瘦”.更进一步，利用计算机软件可计算出，正态曲线与 x 轴在区间 内所围面积约为0.3413，在区间 内所围面积约为0.1359，在区间 内所围面积约为0.0215，如图所示. 3.一般地，如果随机变量 X 落在区间 内的概率，总是等于 对应的正态曲线与 x 轴在区间 内围成的面积，则称 X 服从参数为 与 的 ，记作 ，此时 称为 X 的 . 更进一步的研究表明，此时 是 X 的 ，而 是 X 的 ， 是 X 的 . 4. 且 的正态分布称为 ，其在正态分布中扮演着核心角色，这是因为如果 ，那么令，则可以证明 ，即任意正态分布通过变换都可化为 . 四、例题讲解 例1 求正态曲线与x轴在下列区间内所围面积(精确到0.001). (1)[μ，+∞)； (2)[μ -σ ，μ+σ]； (3)[μ-2σ，μ+2σ]； (4)[μ-3σ，μ+3σ]. 例2 假设某地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为170(单位：cm，下同)，标准差为10.在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高： (1)不高于170的概率； (2)在区间[160，180]内的概率； (3)不高于180的概率. 例3 某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布N(500，52)(单位：g).该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐，称得其质量均大于515g. (1)求正常情况下，任意抽取一包食盐，质量大于515g的概率约为多少； (2)检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由. 例4 已知X~N(0，1)，利用上述表格求以下概率值： (1)P(X<0.28); (2)P(X < -0.36); (3)P(0.18≤X<0.57). 五、课堂练习 1.若随机变量，且，则的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.4 2.已知随机变量，，则( ) A.5 B.4 C.6 D.3 3.已知某批零件的直径X（单位：毫米）服从正态分布.若，则从这批零件中任意抽取1个零件，该零件的直径大于11毫米的概率为( ) A.0.35 B.0.15 C.0.3 D.0.175 4.某电商平台2024年初引进了新型“直播带货”技术后，每日交易额（单位：万元），估计第二季度（按90天计算）内交易额在4460万元到4540万元的天数大约为( )（） A.50天 B.61天 C.86天 D.88天 5.已知随机变量，若，则( ) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 6.已知随机变量X服从正态分布，且，则( ) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 7.某超市购进一批食盐，每袋食盐的质量（单位:克）服从正态分布，若，则( ) A.0.98 B.0.985 C.0.99 D.0.995 8.设随机变量服从正态分布，若，则下列结论中正确的是( ) A.，标准差 B.，标准差 C.，标准差 D.，标准差 ... ...