(
课件网) 2.4 圆的方程 2.4.2 圆的一般方程 探究点一 圆的一般方程的理解 探究点二 求圆的一般方程 探究点三 与圆有关的轨迹方程 探究点四 与圆有关的最大（小）值问题 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.能描述圆的一般方程的方程结构与代数意义. 2.能熟练进行圆的标准方程与一般方程间的互化. 3.能根据给定圆的几何要素求出圆的一般方程. 知识点一 圆的一般方程 将方程 配方得 _ _____. 当时,方程 表示以_____为圆心， _____为半径的圆，我们把方程 叫作圆的一般方程. （1）圆的一般方程的特点是:①和 的系数都是___;②没有____这 样的二次项;③ ___0. （2）方程 并不一定表示圆,当其系数满足 时,它表示____;当 时,它表示一个 ____;当时,方程 没有实 数解,它不表示任何图形. 1 圆 点 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）圆的一般方程可以化为圆的标准方程.( ) √ [解析] 圆的一般方程与标准方程可以互化. （2）二元二次方程 一定是某个圆的方程. ( ) × [解析] 二元二次方程 表示圆时需满足 . （3）若方程表示圆,则 .( ) √ [解析] 由圆的一般方程的定义知结论正确. （4）在圆的一般方程中,当 时,圆 的圆心在 轴上.( ) × [解析] 当时,圆心在轴上;当时,圆心在轴上;当 时, 圆过原点. 知识点二 轨迹方程 轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，点的轨迹方程是指点的坐 标满足的关系式.在解析几何中，常常把图形看作点的轨迹（集合）. 探究点一 圆的一般方程的理解 例1 若方程 表示圆，求： （1）实数 的取值范围； 解：根据题意知 ， 即，解得，故 的取值范围为 . （2）圆心坐标和半径． 解：由 得 ，故圆心坐标为 ，半径 . 变式（1）［2025·北京一五九中学高二期中］圆 的圆心和 的取值范围分别是( ) A.， B.， C.， D.， [解析] 由 ，得 ，所以圆心为. 由 ，得 ，故选A. √ （2）（多选题）下列方程不是圆的一般方程的有( ) A. B. C. D. √ √ √ [解析] 对于A，因为 ，所以方程 是圆的一般方程； 对于B，因为 ，所以方程 不是圆的一般方程； 对于C，因为方程中和 的系数不相等， 所以方程 不是圆的一般方程； 对于D，因为方程中存在含 的项，所以方程 不是圆的一般方程.故选 . 探究点二 求圆的一般方程 例2（1）已知圆经过点和点，且圆心 在直线 上，求圆 的方程； 解：设圆的方程为 ， 则圆心为 ，由题意得解得 所以圆 的方程为 . （2）已知的三个顶点为，， ，求 外接圆的方程. 解：设 外接圆的方程为 ， 将 ，， 的坐标分别代入，可得 解得 所以 外接圆的方程为 . （1）圆 的一般方程; 解：圆的标准方程为 ， 则圆心为，半径为 ，所以 解得或又圆心在第二象限，所以， ， 故圆的一般方程为 . 变式 已知圆 的圆心在直线 上，且圆心在第二象限，半径为 ，求: （1）圆 的一般方程; 解：圆的标准方程为 ， 则圆心为，半径为 ，所以 解得或又圆心在第二象限，所以， ， 故圆的一般方程为 . （2）圆关于直线 对称的圆的一般方程. 解：由（1）知圆的圆心为，设它关于直线 对称 的点为，则解得 所以圆关于直线 对称的圆的标准方程为 ，故一般方程为 . ［素养小结］ 求圆的方程主要有两种方法：（1）定义法；（2）待定系数法.定义 法是根据题目利用定义判断曲线为圆，求出圆心坐标和半径长；待 定系数法是列出关于
,
,
的方程组，求出
,
,
，从而求得圆的一 般方程. 探究点三 与圆有关的轨迹方程 例3 已知直角三角形的斜边为，且， ，求： （1）直角顶点 的轨迹方程； 解：设顶点的坐标为，因为，且，， 三点不共线， 所以且 . 又，，且，所 ... ...
