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课件网) 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.2 圆与圆的位置关系 探究点一 两圆位置关系的判断及应用 探究点二 两圆公共弦问题 探究点三 圆与圆的位置关系的综合问题 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.能描述圆与圆的位置关系. 2.能根据给定两圆的方程判断两个圆的位置关系. 知识点 圆与圆的位置关系 1.两圆的位置关系主要包括:外离、_____、_____、_____和内含. 2.两圆的位置关系的判断： 外切 相交 内切 （1）代数法：已知圆 ，圆 ， 由 消元后得到一元二次方程（若得到的 是一元一次方程，则要求出方程组的解进行判断），计算判别式 的值，按下表中判断标准进行判断. （2）几何法：两圆的半径分别为，，计算两圆的圆心距 ，按 下表中判断标准进行判断. （3）判断标准： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 _____ _____ _____ _____ _____ 公共点个 数 0 1 2 1 0 _____ _____ _____ __ _____ _____ _____ _____ 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）两圆的方程联立,若方程组有两个解,则两圆相交.( ) √ [解析] 由两圆相交的概念知结论正确. （2）若两个圆没有公共点,则两圆一定外离.( ) × [解析] 若两个圆没有公共点,则这两个圆可能外离也可能内含,故结论 不正确. （3）若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点;反之也成立.( ) [解析] 若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,但反之不成立，若两 圆有且只有一个公共点,则两圆可能外切也可能内切,故结论不正确. （4）当两圆的方程组成的方程组无解时,两圆一定外离.( ) [解析] 当两圆的方程组成的方程组无解时,两圆外离或内含，故结论 不正确. × × 探究点一 两圆位置关系的判断及应用 例1（1）已知圆 ，圆 ，则圆与圆 的位置关系为( ) A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 [解析] 由题意可得圆的圆心为,半径，圆 的圆心 为,半径，所以 ， ，所以 ，所以两圆内切，故选D. √ （2）圆和圆内含，则 的取值范围是_____. [解析] 圆的圆心为 ，半径为3， 圆的圆心为，半径为 ，所以两圆的圆心距为3. 因为两圆内含，所以，解得或（舍去），故 的取值范围是 . 变式（1）若圆与圆 外切，则实数 的值为( ) A. B.1 C.1或4 D.4 [解析] 圆的方程可化为,所以 ，即两圆的 圆心分别为,. 设圆,的半径分别为,,则 ,， 所以，可得 .故选D. √ （2）已知圆 与圆 恰有两条公切线，则实数 的取值范 围是_____． [解析] 易知圆的圆心为,半径为 ，由 ，得 ，所以圆 的圆心为，半径为. 因为圆与圆 恰有两条公切线，所以圆与圆相交， 所以 ，又 ，所以可得 ，即的取值范围是 . 探究点二 两圆公共弦问题 例2（1）圆与圆 的公共弦长为( ) A. B. C. D. [解析] 两圆的公共弦所在直线的方程为 ， 即 ，即， 又圆的半径，圆心 到直线的距离 ，所以公共弦长为 .故选C. √ （2）［2025·贵州黔西南四中高二期中］已知圆 与圆的公共弦经过点，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由题得 ，两圆的公共弦所在直线的方程为 ，即 ， 又公共弦经过点，所以，解得 .故选B. √ 变式 已知圆和圆 . （1）求两圆公共弦所在直线的方程； 解：设两圆交点为，，则， 两点的坐标是方程 组 的解，将两方程相减，得 . 因为， 两点的坐标都满足此方程， 所以 即为两圆公共弦所在直线的方程. （2）求经过两圆交点且圆心在直线 上的圆的方程. 解：方法一：解（1）中的方程组，得或 设所求圆的圆心坐标为 ， 因为圆心在直线上，所以 ，则 ，解得 ， 故所求圆的圆心坐标为，半径为 . 故所求圆的方程为 ， 即 . 方法二：设所求圆的方程为 ， 则其圆心坐标为，代入，解得 ， 故所求圆的方程为 . ［素养 ... ...
