【学霸笔记：同步精讲】第8章 8.2 8.2.1 几个函数模型的比较 讲义----2026版高中数学苏教版必修第一册

8.2　函数与数学模型 8.2.1　几个函数模型的比较 学习任务 核心素养 1．理解指数爆炸、直线上升、对数增长的含义．(重点) 2．区分指数函数、一次函数以及对数函数增长速度的差异．(易混点) 3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．(难点) 借助三个函数模型的增长特征，培养数学运算、数学建模的核心素养． 我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异． 知识点　三种函数模型的性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0) 在(0，＋∞)上的增减性 _____ _____ _____ 图象的变化趋势 随x增大逐渐近似与_____平行 随x增大逐渐近似与_____平行 保持固定增长速度 增长 速度 ①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度_____，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度_____；在描述现实问题的变化规律时，常用“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”来表示指数函数、一次函数、对数函数的增长方式． ②当x足够大时，总有_____ 思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数． (　　) (2)对任意的x>0，kx>logax． (　　) (3)对任意的x>0，ax>logax． (　　) (4)函数y＝log2x增长的速度越来越慢． (　　) 类型1　几类函数模型的增长差异 【例1】(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　) A．y＝2 025x　　　　　　 B．y＝2 025 C．y＝log2 025x D．y＝2 025x (2)下面对函数f(x)＝，g(x)＝与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是(　　) A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢 B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快 C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变 D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快 [尝试解答]_____ _____ 　常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型 一次函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． (2)指数函数模型 指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”． (3)对数函数模型 对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓． [跟进训练] 1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表： x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1 024 37 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.332 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 关于x呈指数函数变化的变量是_____． 类型2　指数函数、对数函数与一次函数模型的比较 【例2】函数f(x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点，y2)，且x1＜x2． (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断f与g，f(2 025)与g(2 025)的大小． [尝试解答]_____ _____ 　由图象判断指数函数、一次函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数． [跟进训练] 2．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示． (1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数； (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)． _____ 类型3　函数模型的选择 【例3】 ... ...