【学霸笔记：同步精讲】第5章 5.2 函数的表示方法 讲义----2026版高中数学苏教版必修第一册

5.2　函数的表示方法 学习任务 核心素养 1．理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．(重点) 2．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值．(重点、难点) 1．通过函数表示的图象法，培养直观想象素养． 2．通过函数解析式的求法，培养数学运算素养． 观察教材第5.1节开头的3个函数问题，你能说出各种函数表达形式上的特点吗？如何用数学语言来准确地描述函数表示法？你能说出几种函数表示法的优缺点吗？ 知识点1　函数的表示方法 1．函数三种表示法的优缺点是什么？ _____ 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用解析法表示． (　　) (2)任何一个函数都可以用图象法表示． (　　) (3)函数f(x)＝2x＋1不能用列表法表示． (　　) (4)函数的图象一定是一条连续不断的曲线． (　　) 知识点2　分段函数 (1)在定义域内_____上，有不同的_____．像这样的函数，通常叫作分段函数． (2)分段函数定义域是各段定义域的____集，其值域是各段值域的____集． (3)分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的_____的图象．分段函数是_____函数，因此应在_____坐标系中画出各段函数图象． 2．分段函数是几个函数构成的吗？ _____ 2．若函数f(x)＝则f(x)的定义域为_____，值域为_____． 类型1　求函数解析式 【例1】求下列函数的解析式． (1)已知f(x)为一次函数，f(2x＋1)＋f(2x－1)＝－4x＋6，求f(x)； (2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)； (3)已知f(x)为一次函数，且f(f(x))＝4x－1，求f(x)； (4)若f(x)＋2f(－x)＝，求f(x)． [尝试解答]_____ _____ 　求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：已知函数f(x)的函数类型，求f(x)的解析式时，可根据类型设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程(组)，确定其系数即可． (2)换元法：令t＝g(x)，注明t的范围，再求出f(t)的解析式，然后用x代替所有的t即可求出f(x)，一定要注意t的范围即为f(x)中x的范围． (3)配凑法：已知f(g(x))的解析式，要求f(x)时，可从f(g(x))的解析式中拼凑出“g(x)”，即用g(x)来表示，再将解析式两边的g(x)用x代替即可． (4)代入法：已知y＝f(x)的解析式求y＝f(g(x))的解析式时，可直接用新自变量g(x)替换y＝f(x)中的x． (5)方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数，互为相反数(f(－x)，f(x))的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．在构造对称方程时，一般用或－x替换原式中的x即可． [跟进训练] 1．(1)已知f(x)是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f(2)＝3，f(1)＝3，求f(x)； (2)若f＝，求f(x)； (3)已知2f(x)＋f＝3x，求f(x)． _____ 类型2　分段函数的求值问题 【例2】　【链接教材P113例2】 已知函数f(x)＝ 试求f(－5)，f(－)，f的值． [尝试解答]_____ _____ [母题探究] 1．(变结论)本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值． _____ 2．(变结论)本例条件不变，若f(x)>3，求x的取值范围． _____ 　1．分段函数求函数值的方法 (1)确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x))的形式时，应从内到外依次求值． 2．已知函数值求字母取值的步骤 (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值． (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内． 提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验． [跟进训练] 2．已知f(x)＝ (1)求f(2)，f； (2)若f(x)＝，求x的值； (3)若f(x)≥，求x的取值范围． __ ... ...