【学霸笔记：同步精讲】第5章 5.3 第2课时 函数的最大值、最小值 讲义----2026版高中数学苏教版必修第一册

第2课时　函数的最大值、最小值 学习任务 核心素养 1．理解函数的最大(小)值的定义及其几何意义．(重点) 2．会求一些简单函数的最大值或最小值．(重点、难点) 1．借助函数最值的求法，培养直观想象和数学运算素养． 2．利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养． 如图，我们从图象上看出14时的气温为全天的最高气温，它表示在0～24时之间，气温于14时达到最大值；从图象上看出，图象在这一点的位置最高． 从图中可以看出：对于任意的t∈[0，24]，θ(t)与θ(14)具有怎样的关系？ 知识点　函数的最大值与最小值 (1)函数的最大值 一般地，设y＝f(x)的定义域为A．如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有_____，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为_____． (2)函数的最小值 一般地，设y＝f(x)的定义域为A．如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有_____，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为_____． 函数的最值与值域是一回事吗？ _____ 思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)＝－x2≤1总成立，故f(x)的最大值为1． (　　) (2)若函数f(x)在定义域内存在无数个x使得f(x)≤M成立，则f(x)的最大值为M． (　　) (3)函数f(x)＝x的最大值为＋∞． (　　) (4)函数f(x)在[a，b]上的最值一定是f(a)(或f(b))． (　　) 类型1　利用图象求函数的最值 【例1】【链接教材P119例3】 已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值． [尝试解答]_____ _____ 　图象法求函数最值的一般步骤 [跟进训练] 1．已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域． _____ 类型2　利用单调性求函数的最值 【例2】已知函数f(x)＝． (1)用函数单调性定义证明f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减； (2)求函数f(x)＝在区间[3，4]上的最大值与最小值． [尝试解答]_____ _____ [母题探究] (变条件)求函数f(x)＝在[－4，－3]上的最值． _____ 　函数的最值与单调性的关系 (1)若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)； (2)若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)； (3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值． [跟进训练] 2．已知函数f(x)＝． (1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值． _____ 类型3　二次函数的最值 【例3】求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2，4]上的最小值． [尝试解答]_____ _____ [母题探究] 1．在本例条件下，求f(x)的最大值． _____ 2．在本例条件下，若f(x)的最小值为2，求a的值． _____ 　求二次函数的最大(小)值有两种类型：一是函数定义域为实数集R，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大(小)值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大(小)值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置(在区间内，在区间左侧，在区间右侧)来决定，当开口方向或对称轴位置不确定时，需要进行分类讨论． [跟进训练] 3．已知函数f(x)＝x2－ax＋1． (1)求f(x)在[0，1]上的最大值； (2)当a＝1时，求f(x)在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值g(t)． 1．函数y＝x2－2x＋2在区间[－2，3]上的最大值、最小值分别是(　　) A．10，5 B．10，1 C．5，1 D．以上都不对 2．(教材P122习题5.3T3改编)函数f(x)在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大值、最小值分别为(　　) A．3，0 B．3，1 C．3，无最小值 D．3，－2 3．(多选题)已知函数f(x)＝有最小值，则实数a的值可能为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 4．函数y＝－x＋1在区间上的最大值是_____． 5．已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为_____，减 ... ...