【学霸笔记：同步精讲】第6章 6.1 幂函数 讲义----2026版高中数学苏教版必修第一册

6.1　幂函数 学习任务 核心素养 1．了解幂函数的概念，会画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象．(重点) 2．能根据幂函数的图象，了解幂函数的性质．(难点) 3．会用几个常见的幂函数性质比较大小．(重点、难点) 1．借助幂函数的图象，提升直观想象素养． 2．借助幂函数的性质，培养逻辑推理的数学素养． 经调查，一种商品的价格和需求量之间的关系如下表所示： 价格 /元 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 需求 量/t 1.216 1.179 1.146 1.117 1.089 1.064 1.041 根据此表，我们可以得到价格x与需求量y之间近似地满足关系式y＝x-0.38．这是一类怎样的函数，这类函数有什么性质？ 知识点1　幂函数的概念 一般地，我们把形如_____的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是_____． 1．若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝_____． 知识点2　幂函数的图象和性质 1．幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x-1的图象如图所示： 2．幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x-1 定 义 域 ___ ___ ___ _____ (－∞，0)∪ (0，＋∞) 值 域 ___ _____ ___ _____ (－∞，0)∪ (0，＋∞) 奇 偶 性 _____ _____ _____ _____ _____ 单 调 性 在(－∞，＋∞)上是____函数 在 (－∞，0]上_____，在[0，＋∞)上_____ 在 (－∞，＋∞)上是____函数 在[0， ＋∞) 上是 ____函数 在(－∞，0)上_____，在(0，＋∞)上_____ 定 点 _____ _____ _____ _____ _____ 2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数的图象不经过第四象限． (　　) (2)幂函数的图象必过(0，0)和(1，1)这两点． (　　) (3)幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关． (　　) 3．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2，8)，则f(－2)＝_____． 类型1　幂函数的概念 【例1】(1)下列函数： ①y＝x3；②y＝；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)已知y＝(m2＋2m－2)xm2－2＋2n－3是幂函数，求m，n的值． [尝试解答]_____ _____ 　幂函数y＝xα满足的三个特征 (1)xα前系数为1； (2)底数只能是自变量x，指数是常数； (3)项数只有一项． 提醒：求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α． [跟进训练] 1．下列函数是幂函数的有_____．(填序号) ①y＝x2x；②y＝2x2；③y＝；④y＝x2＋1；⑤y＝－；⑥y＝． 2．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点，则f(100)＝_____． 类型2　比较大小 【例2】【链接教材P140例2】 比较下列各组数中两个数的大小： (1)与；(2)与； 与；(4)1.20.6与0.30.4； (5)与． [思路点拨]　可以借助幂函数y＝xα的单调性或化为同指数或借助于中间量进行比较． [尝试解答]_____ _____ 　比较幂值的大小的方法 (1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；若指数相同、底数不在同一单调区间，则用奇偶性； (2)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数化为相同，是否可以引入中间量． [跟进训练] 3．比较下列各组中两个数的大小： ； (2)a1.5，(a＋1)1.5(a＞0)； (3)． _____ 类型3　幂函数的图象及应用 【例3】点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有： (1)f(x)>g(x)； (2)f(x)＝g(x)； (3)f(x)0，幂函数的图象恒经过点(0，0)，(1，1)，在[0，＋∞)上单调递增． (2)α<0，幂函数的图象恒经过点(1，1)，在(0，＋∞)上单调递减． 3．幂函数图象在第一象限内随指 ... ...