1.5 全称量词与存在量词 【学习目标】 1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.(数学抽象) 2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.(逻辑推理) 3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.(逻辑推理) 【自主预习】 1.p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同 2.有以下五种表述形式:①p q;②p是q的充分条件;③q的充分条件是p;④q是p的必要条件;⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗 3.若p是q的充要条件,则p和q等价,这种说法对吗 4.p:任意两个全等的三角形必相似,其中的“任意”称为什么量词 5.q:存在两个相似的三角形全等,其中的“存在”称为什么量词 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题. ( ) (2)命题“三角形的内角和是180°”是全称量词命题. ( ) (3)命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题. ( ) (4)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词. ( ) 2.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( ). A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个实数x,使x2≤0 C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数x,使>2 3.将命题“x2+y2≥2xy”改写成全称量词命题: . 4.若对任意x>3,都有x>a恒成立,则实数a的取值范围是. 【合作探究】 探究1 全称量词命题和存在量词命题 某校为了迎接即将到来的秋季田径运动会,正在排练由1 000名学生参加的开幕式团体操表演.这1 000名学生有如下特点: (1)所有学生都来自高一年级; (2)至少有30名学生来自高一(2)班; (3)每一个学生都有固定的表演路线. 问题1:上述问题中“所有”“每一个”的含义相同吗 问题2:“至少”是全称量词吗 问题3:“一元二次方程ax2+2x+1=0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题 请改写成相应命题的形式. 问题4:全称量词限制变量的范围吗 1.全称量词和全称量词命题 (1)全称量词 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作 ,并用符号“ ———表示. (2)全称量词命题 含有的命题叫作全称量词命题.通常将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示,变量x的取值范围用M表示,那么全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为 . 2.存在量词和存在量词命题 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作 ,并用符号“ ———表示.含有存在量词的命题,叫作. (2)常见的存在量词还有“ ———“ ———“ ———“ ———等. 一、全称量词命题与存在量词命题的判定 例1 下列命题中,是全称量词命题的有 ,是存在量词命题的有.(填序号) ①正方形是菱形;②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;③有的实数是无限不循环小数;④有些正整数是偶数;⑤能被6整除的数也能被3整除;⑥存在x∈R,>1. 二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断 例2 判断下列命题的真假: (1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P; (2)每一条线段的长度都能用正有理数来表示; (3)至少有一个直角三角形不是等腰三角形; (4) x∈R,x2-3x+2=0; (5) x,y∈Z,(x-y)2=x2-2xy+y2. 【方法总结】全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧 (1)全称量词命题真假的判断:要判断一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只需举出限定集合M中的一个x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”). (2)存在量词命题真假的判断:要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x0,使p(x0)成立即可,否则,这一存在量词命题就是假命题. (多选题)下列命题是真命题的是( ). A. x∈R,x+≥2 B. x∈R ... ...
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