1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系讲义 (学生版+教师版)-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 基础巩固 一、单选题 1．（2025高二·全国·专题练习）①零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量； ②若是直线的方向向量，则也是直线的方向向量； ③在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量； ④若直线平面，则直线的方向向量垂直于平面的法向量． 以上四个命题中，正确的是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【知识点】空间位置关系的向量证明、平面法向量的概念及辨析、直线方向向量的概念及辨析（平面中）） 【分析】根据零向量、直线方向向量、平面法向量的性质和定义依次判断各项的正误，即可得. 【详解】直线的方向向量和平面的法向量都是非零向量，①正确； 当时，是零向量，不是直线的方向向量，②错误； 由坐标平面与轴垂直，故是该平面的一个法向量，③正确； 若直线平面，结合法向量的定义，直线的方向向量平行于平面的法向量，④错误． 故选：B 2．已知点，，，则平面的法向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求平面的法向量 【分析】利用待定系数法，设出法向量，取平面中两个不共线向量，根据向量点积建立方程，可得答案. 【详解】由已知得，．设， 则即令，则，，所以． 故选：A. 3．（2025高二上·江苏·专题练习）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】利用平面的法向量、直线的方向向量逐项计算判断即得. 【详解】对于A，由，得，则，解得，A错误； 对于B，由，得，则，解得，B错误； 对于C，由，得，， 则，则或，C错误； 对于D，由，得，， 则，则，D正确. 故选：D 4．已知为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则（ ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】由空间向量共线求参数或值、空间位置关系的向量证明 【分析】根据向量共线，即可列方程求解. 【详解】因为，所以，从而设，即， 由于为空间内三个不共面的向量， 所以解得所以． 故选：B 5．（25-26高二上·全国·单元测试）已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则（ ） A．2 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】依题意得，所以，即可求解． 【详解】因为是平面的一个法向量， 点在平面内，所以， 所以. 由条件得， 所以，解得. 故选：D 6．（24-25高二上 湖南郴州 阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵中，，，分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明逐个判断即可. 【详解】在从左往右第一个图中，因为，所以， 因为侧棱垂直于底面，所以面， 如图，以为原点建立空间直角坐标系，设， 因为分别是所在棱的中点，所以 所以，，故， 即得证，在从左往右第二个图中，我们建立同样的空间直角坐标系， 此时，所以，， 故，所以， 在从左往右第三个图中，我们建立同样的空间直角坐标系， 此时， 故，，即，所以不垂直， 则3个直观图中满足的有个，故C正确. 故选：C 7．（24-25高二上 山东 阶段练习）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面法向量的概念及辨析 【分析】根据点法式方程的定义即可求解. 【详解】根据题意可得， 化 ... ...