2.4 圆的方程 【知识储备】 1．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径). 圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此 在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2) 圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因 此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线 方程，求待定系数D，E，F. 4．二元二次方程与圆的方程 (1)二元二次方程与圆的方程的关系： 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. (2)二元二次方程表示圆的条件： 二元二次方程表示圆的条件是 5．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 6．与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 7．与圆有关的最值问题 (1)与圆的代数结构有关的最值问题 ①形如t=形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； ②形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； ③形如t=形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (2)与圆的几何性质有关的最值问题 ①记C为圆心，r为圆的半径，则圆外一点A到圆上距离的最小值为|AC|-r，最大值为|AC|+r； ②过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦； ③记圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为d+r，最小距离为d-r； ④过两定点的所有圆中，面积最小的圆是以这两个定点为直径端点的圆. 【题型精讲】 【题型一 圆的方程的求法】 方法技巧 1.几何法：找出圆心坐标和半径大小，求圆的标准方程. 2.待定系数法：圆的标准方程中含有三个参变量，必须具备三个独立的条件才能确定出圆的方程.当已知曲 线为圆时，一般用待定系数法. 【例1】分别根据下列条件，求圆的方程： (1)（已知圆心+圆过一点）过点，圆心为； (2)（圆心在某直线上+相切）已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，且圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程； (3)（圆心在某直线上+过两点）圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为； (4)（圆心在某直线上+弦长）圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程； （5）（圆过三点或外接圆）过点，和原点． （6）已知直线，，且满足，垂足为. (1)求的值及点的坐标. (2 ... ...
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