1.1 课时1 空间向量及其线性运算 【学习目标】 1.通过类比平面向量,了解空间向量的有关概念.(数学抽象) 2.通过类比平面向量,学习并掌握空间向量的线性运算:加法、减法以及数乘运算;掌握线性运算的运算律:结合律、交换律和分配律.(数学运算) 3.能根据一些条件,在简单的几何体中解决一些向量的运算问题,即掌握空间向量的应用.(数学运算、直观想象) 【自主预习】 预习教材P2~5的内容,并完成下面的思考,提出你的疑惑与发现. 1.类比平面向量,可以表示平面向量,也可以表示空间向量吗 它们模长的几何意义相同吗 2.在空间中,零向量、单位向量、相反向量、共线(平行)向量、相等向量的概念与平面向量中的定义相同吗 3.空间向量线性运算的结果,与向量起点的选择有关系吗 4.如何定义直线的方向向量及共面向量 5.已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',化简++,++.你能发现什么规律 6.三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在空间中,任意一个向量都可以进行平移. ( ) (2)在空间中,互为相反向量的两个向量必共线. ( ) (3)空间向量线性运算的结果不一定是向量. ( ) (4)任意两个空间向量都不能比较大小. ( ) 2.下列说法正确的是( ). A.空间向量就是空间中的一条有向线段 B.由于0的方向不确定,故0不能与任意向量平行 C.若|a|=|b|,则a与b共线 D.空间向量的模可以比较大小 3.(人教A版选择性必修第一册P5练习T2改编)(多选题)如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,E为CC'的中点,F是AC'上靠近点A的三等分点,则下列表达式化简正确的是( ). A.+= B.-+= C.-+= D.= 4.已知b=-5a,|a|=2,则向量b的长度为 ,向量b的方向与向量a的方向 . 【合作探究】 探究1 空间向量的概念 已知一块正三角形钢板,它的三个顶点用等长的绳子绑起,在力F的作用下匀速上升,三根绳子的受力情况如图所示. 问题1:在物理学中,力是什么量 这三个力共面吗 这三个力在数学上叫什么 问题2:你能根据平面向量的定义,写出空间向量的定义吗 问题3:平面向量与空间向量的定义有何区别 它们的本质是否相同 1.空间向量 (1)定义:在空间中,我们把具有 和的量叫作空间向量. (2)长度或模:空间向量的叫作空间向量的长度或模. (3)表示法:①几何表示法,空间向量用有向线段表示. ②字母表示法,用字母a,b,c,…表示. 若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可记作,其模记为|a|或||. 2.几类常见的空间向量 名称 定义 表示 零向量 长度为的向量 0 单位向量 模为的向量 |a|= 或 ||= 相反向量 与向量a长度而方向的向量 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线或,那么这些向量叫作共线向量或向量 a∥b 规定:零向量与任意向量 0∥a 相等向量 方向且模的向量 a=b 或= 例1 (1)给出下列说法: ①在正方体ABCD-A1B1C1D1中,=; ②若a∥b,b∥c,则a∥c; ③若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同; ④若a,b是相反向量,则|a|=|b|. 其中,正确的是 .(填序号) (2)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,由顶点连接而成的向量中,与向量相等的向量有 . 【方法总结】在空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同.由于向量是由其模和方向确定的,因此解答空间向量有关概念的问题时,通常抓住这两点来解决.零向量是一个特殊的向量,其方向是任意的,且与任何向量都共线,这一点说明了共线向量不具备传递性. 下列说法正确的是( ). A.若|a|<|b|,则a
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