1.2 圆与圆的方程 导学案（4课时）（含答案） 2025-2026学年北师大版（2019）高中数学选择性必修第一册

1.2 课时4 圆与圆的位置关系 【学习目标】 1.理解圆与圆的几种位置关系的性质及判定.(直观想象) 2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.在之前，我们有研究过直线与直线的位置关系、直线与圆的位置关系，那么圆与圆的位置关系又有几种呢 2.如何判断出两圆的位置关系 3.已知两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，那么两圆外切. (　　) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，那么两圆相交. (　　) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程. (　　) (4)过圆O：x2+y2=r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2. (　　) 2.圆O1：x2+y2-2x=0和圆O2：x2+y2-4y=0的位置关系为(　　). A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 3.已知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=20相交于A，B两点，则直线AB的方程是_____. 4.已知圆x2+y2=1与圆x2-6x+y2-8y+m+6=0相外切，求实数m的值. 【合作探究】 探究1　判断圆与圆的位置关系 　　如图，这是在某地12月24日拍到的日环食的全过程. 可以用两个圆来表示上述变化过程. 根据上图，结合平面几何，判断圆与圆的位置关系.能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系 问题1：将两个相交圆的方程x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0(i=1，2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢 问题2：判断两圆的位置关系有什么方法 1.圆与圆的位置关系 圆与圆之间存在以下三种位置关系： (1)两圆相交，有两个公共点； (2)两圆相切，包括内切与外切，只有一个公共点； (3)两圆相离，包括外离与内含，没有公共点. 2.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判定方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的 关系 _____ _____ _____ _____ _____ 　(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断. 一元二次方程 例1　已知圆C1：x2+y2-4x-6y+9=0与圆C2：(x+1)2+(y+1)2=9，则圆C1与圆C2的位置关系为(　　). A.相交 B.外切 C.外离 D.内含 【方法总结】判断圆与圆的位置关系的一般步骤：(1)将两圆的方程化为标准方程(若圆的方程已是标准形式，此步骤不需要)；(2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r1，r2；(3)求两圆的圆心距d；(4)比较d与|r1-r2|，r1+r2的大小关系；(5)根据大小关系确定位置关系. 圆C1：x2+y2-2x-3=0和圆C2：x2+y2-4x+2y+3=0的位置关系是(　　). A.外离 B.相切 C.相交 D.内含 探究2　两圆位置关系的应用 　　已知圆C1：x2+y2-2x-3=0和圆C2：x2+y2-6x+2y+1=0. 问题1：你能判断出两圆的位置关系吗 问题2：若将两个圆的方程相减，你发现了什么 所得方程具有什么特性 1.将两个相交圆的方程x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0(i=1，2)相减，可得一直线方程，该直线经过两圆的公共点.经过两个相交圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线. 2.两圆公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解. 例2　已知圆C1：x2+y2-2x-6y-1=0和圆C2：x2+y2-10x-12y+45=0. (1)求证：圆C1和圆C2相交. (2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长. 【方法总结】处理与圆有关的问题，利用圆的几何性质往往比较简单，要注意体会和应用. 已知圆C1：x2+y2+2y-3=0和圆C2：x2+y2-4x-2y+1=0. (1) ... ...