3.1 正整数指数函数 学案 课标解读 1.了解正整数指数函数模型的实际背景．2．了解正整数指数函数的概念．(重点)3．理解具体的指数函数的图像特征．(重点)4．会用正整数指数函数解决某些实际问题．(难点) 知识点 正整数指数函数的概念 【问题导思】 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一直分裂下去． 1．你能用列表法表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5,6,7,8时，得到的细胞个数吗？ 【提示】 分裂次数 1 2 3 4 5 6 7 8 细胞个数 2 4 8 16 32 64 128 256 2．你能用图像表示1个细胞分裂的次数n(n∈N＋)与得到的细胞个数y之间的关系吗？ 【提示】 3．请你写出得到的细胞个数y与分裂次数n之间的关系式． 1．正整数指数函数 一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋. 2．正整数指数函数的图像特点 前面我们学习过的一次函数与二次函数，它们的图像是连续不间断的，而正整数指数函数的图像是在第一象限内的一群孤立的点． 3．指数型函数 把形如y＝kax(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数. (见学生用书第35页) 类型1 正整数指数函数的定义 下列函数中一定是正整数指数函数的是( ) A．y＝(－4)x(x∈N＋) B．y＝()x(x∈N＋) C．y＝2×3x(x∈N＋) D．y＝x3(x∈N＋) 【思路探究】 熟练掌握定义中的三个特征是解决本题的关键． 【自主解答】 y＝(－4)x的底数－4<0，不是正整数指数函数；y＝2×3x中3x的系数等于2，不是正整数指数函数；y＝x3中自变量x在底数的位置上，是幂函数，不是正整数指数函数；由正整数指数函数的定义知，只有y＝()x是正整数指数函数． 【答案】 B 1．正整数指数函数解析式的基本特征：ax前的系数必须是1，自变量x∈N＋，且x在指数的位置上，底数a是大于零且不等于1的常数． 2．要注意正整数指数函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)与幂函数y＝xa的区别． 若函数y＝(a2－3a＋3)·ax为正整数指数函数，则实数a的值为_____． 【解析】 若函数y＝(a2－3a＋3)·ax为正整数指数函数，则ax的系数a2－3a＋3＝1，且底数a>0，a≠1.由此可知，实数a的值为2. 【答案】 2 类型2 正整数指数函数的图像与性质 (1)画出函数y＝()x(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性； (2)画出函数y＝3x(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性． 【思路探究】 使用描点法画图像，但因为函数的定义域是N＋，所以图像应是一些孤立的点，画图像时就没有“连线”步骤了． 【自主解答】 (1)函数y＝()x(x∈N＋)的图像如图(1)所示，从图像可知，函数y＝()x(x∈N＋)是单调递减的； (2)函数y＝3x(x∈N＋)的图像如图(2)所示，从图像可知，函数y＝3x(x∈N＋)是单调递增的． (1) (2) 1．正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的． 2．当0
1时，y＝ax(x∈N＋)是增函数． (1)函数y＝()x，x∈N＋的图像是( ) A．一条上升的曲线 B．一条下降的曲线 C．一系列上升的点 D．一系列下降的点 (2)函数y＝7x，x∈N＋的单调递增区间是( ) A．R B．N＋ C．[0，＋∞) D．不存在 【解析】 (1)因为正整数指数函数y＝()x，x∈N＋的底数大于零且小于1，所以它的图像从左向右是一系列下降的点． (2)虽然正整数指数函数y＝7x，x∈N＋在定义域N＋上单调递增，但是N＋不是区间，所以该函数不存在单调区间． 【答案】 (1)D (2)D 类型3 正整数指数函数的应用 某种储蓄按复利计算利息，已知本金为a元，每期利率为r. (1)写出本利和y(单位：元)关于存期x的函数关系式； (2)如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和． 【思路探究】 列出 ... ... 
