3.4.1 对数及其运算 教案1

3.4.1　对数及其运算 教案 导入新课　　　　　 思路1.上节课我们学习了以下内容： 1．对数的定义． 2．指数式与对数式的互化． ab＝NlogaN＝b. 3．重要公式： (1)负数与零没有对数；(2)loga1＝0，logaa＝1；(3)对数恒等式alogaN＝N. 下面我们接着讲对数的运算性质〔教师板书课题〕 思路2.我们在学习指数的时候，知道指数有相应的运算法则，即指数运算法则． am·an＝am＋n；am÷an＝am－n；(am)n＝amn；＝. 从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，对数是否也有和指数相类似的运算法则呢？答案是肯定的，这就是本堂课的主要内容，点出课题． 推进新课　　　　　 1 在上节课中，我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？ 2 如我们知道am＝M，an＝N，am·an＝am＋n，那m＋n如何表示，能用对数式运算吗？ 3 在上述 2 的条件下，类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗？? 4 你能否用最简练的语言描述上述结论？如果能，请描述. 5 上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗？ 6 上述结论能否推广呢？ 7 学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢？ 讨论结果：(1)通过问题(2)来说明． (2)如am·an＝am＋n，设M＝am，N＝an，于是MN＝am＋n，由对数的定义得到 M＝amm＝logaM，N＝ann＝logaN， MN＝am＋nm＋n＝logaMN， logaMN＝logaM＋logaN. 因此m＋n可以用对数式表示． (3)令M＝am，N＝an，则＝am÷an＝am－n，所以m－n＝loga. 又由M＝am，N＝an，所以m＝logaM，n＝logaN.所以logaM－logaN＝m－n＝loga， 即loga＝logaM－logaN. 设M＝am，则Mn＝(am)n＝amn.由对数的定义， 所以logaM＝m，logaMn＝mn. 所以logaMn＝mn＝nlogaM，即logaMn＝nlogaM. 这样我们得到对数的三个运算性质： 如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则有 loga(MN)＝logaM＋logaN，① loga＝logaM－logaN，② logaMn＝nlogaM(n∈R)．③ (4)以上三个性质可以归纳为： 性质①：两数积的对数，等于各数的对数的和； 性质②：两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数； 性质③：幂的对数等于幂指数乘底数的对数． (5)利用对数运算性质进行运算，所以要求a＞0，a≠1，M＞0，N＞0. (6)性质①可以推广到n个数的情形： 即loga(M1M2M3…Mn)＝logaM1＋logaM2＋logaM3＋…＋logaMn(其中a＞0，a≠1，M1M2M3…Mn均大于0)． (7)纵观这三个性质我们知道， 性质①的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算． 性质②的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算． 性质③从左往右仍然是降级运算． 利用对数的性质①②可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，大大的方便了对数式的化简和求值． 思路1 例1 用logax，logay，logaz表示下列各式： (1)loga(x2yz)；(2)loga；(3)loga. 活动：学生思考观察，教师巡视，检查学生解题情况，发现问题及时纠正． 利用对数的运算性质，把整体分解成部分． 对(1)可先利用性质1，转化为两数对数的和，再利用性质3，把幂的对数转化为两数对数的积． 对(2)(3)可先利用性质2，转化为两数对数的差，再利用性质1，把积的对数转化为两数对数的和，最后利用性质3，转化为幂指数与底数的对数的积． 解：(1)loga(x2yz)＝logax2＋logay＋logaz＝2logax＋logay＋logaz. (2)loga＝logax2－loga(yz)＝2logax－logay－logaz. (3)loga＝loga－loga(y2z)＝logax－2logay－logaz. 点评：对数的运算实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减的运算． 变式训练 1．若a＞0，a≠1，x＞0，y＞0，x＞y，下列式子正确的个数为(　　)． ①logax·logay ... ...