1.1.2 空间向量基本定理 导学案（含答案） 2025-2026学年人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册

1.1.2 空间向量基本定理 【学习目标】 1.掌握共面向量定理及其意义.(数学抽象) 2.掌握空间向量基本定理.(数学抽象) 3.会用空间向量基本定理解决有关问题.(数学运算、逻辑推理) 【自主预习】 1.空间中任意两个向量一定共面吗 为什么 2.空间中任意三个向量一定共面吗 请举例说明. 3.如果空间中三个向量共面，那么它们存在怎样的关系 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量a，b，c共面的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使得c=xa+yb. （ ） (2)只有两两垂直的三个向量才能构成空间的一组基底. （ ） (3)若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{-a，b，2c}也是空间向量的一组基底. （ ） (4)若{a，b，c}不能构成空间向量的一组基底，则a，b，c共面. （ ） 2.在下列条件中，使点M与点A，B，C一定共面的是（ ）. A.=2-- B.=++ C.++=0 D.+++=0 3.(人教B版选择性必修第一册P67复习题C组T2改编)(多选题) 若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组向量中，能构成空间的一个基底的是（ ）. A.a+2b，b-c，a+2c B.a+b，b+c，c+a C.2a，b，c-a D.a+b，a+b+c，c 4.在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是线段BD上的一点，BE=3ED，以{，，}为空间向量的一组基底，则=_____. 【合作探究】 探究1空间向量基本定理 如图，我们所在的教室是一个三维立体图，如果以教室的一个墙角为始点，沿着三条墙缝作向量，那么可以得到三个空间向量，，. 问题1：图中，，这三个空间向量是不共面的，那么是否可以用这三个向量表示空间中任意的向量呢 问题2：平面向量的基底要求两个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么要求 问题3：空间向量的基底是唯一的吗 问题4：0能是基向量吗 问题5：基底和基向量是同一个概念吗 有什么区别 1.共线向量基本定理 如果a≠0且b∥a，那么存在唯一的实数λ，使得b=λa. 2.共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量a，b，c共面的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使得c=xa+yb. 3.空间向量基本定理 (1)定理：如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=_____. (2)基底：如果三个向量a，b，c不共面，那么它们的线性组合xa+yb+zc能生成所有的空间向量，因此，空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}叫作空间向量的一组基底，a，b，c都叫作基向量. 例1：设x=a+b，y=b+c，z=c+a，且{a，b，c}是空间向量的一组基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a+b+c}.其中可以为空间向量的一组基底的有（ ）. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【方法总结】基底判断的基本思路及方法：①若向量中存在零向量，则不能构成基底；②假设存在一个向量可以用另外的向量线性表示，即a=λb+μc(λ，μ∈R)，运用空间向量基本定理，建立含有λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能构成基底，若无解，则不共面，能构成基底. 已知{e1，e2，e3}是空间向量的一组基底，且=e1+2e2-e3，=-3e1+e2+ 2e3，=e1+e2-e3，试判断{，，}能否构成空间向量的一组基底. 探究2空间向量基本定理的应用 问题1：在空间中如何选择基底 问题2：我们学习过的向量之间的运算有哪些 问题3：数量积的定义是什么 在数量积的运算中经常用到的式子有哪些 问题4：如何由共面向量定理得到判断空间中四点共面的方法 由空间向量基本定理可知：如果把不共面的三个向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来.进一步地，所有空间向量间的运算都可以转化为基向量的运算，这为解决问题带来了方便. 例2：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都 ... ...