1.2.5 空间中的距离 导学案（含答案） 2025-2026学年人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册

1.2.5 空间中的距离 【学习目标】 1.掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式.(直观想象、数学运算) 2.能够用向量法解决空间中的距离问题.(逻辑推理、数学运算) 3.体会空间向量解决几何问题的步骤.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.空间直角坐标系中两点间的距离公式是什么 2.在空间中怎样求两点之间的距离 3.如何求直线与平面间的距离 4.如何求平面与平面间的距离 5.求点到平面的距离的常用方法有哪些 6.如何用向量法求点到直线的距离 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点A到平面α的距离是点A与平面α上所有点连线的最小值. （ ） (2)若直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离.（ ） (3)若平面α∥平面β，则两平面α，β间的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离. （ ） (4)若A是平面α内一点，则点A到平面α的距离为0. （ ） 2.设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|等于（ ）. A. B. C. D. 3.已知直线l的方向向量为m=(1，，-1)，若P(-1，1，-1)为直线l外一点，A(4，1，-2)为直线l上一点，则点P到直线l的距离为_____. 4.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，则AD到平面PBC的距离为_____. 【合作探究】 探究1点到直线的距离 如图，在空间中任取一点O，作=a，=b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，回答下列问题. 问题1：向量a在向量b上的投影向量是什么 问题2：向量a在向量b上的投影是什么 问题3：在上图中，怎样求线段MM1的长度 长度的表达式是什么 点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.如图，设=a，则在直线l上的投影为. 点P到直线l的距离PQ==. 例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离. 【方法总结】向量法求点到直线的距离的步骤 (1)依据图形求出直线的单位方向向量s. (2)在直线上任取一点M(可选择便于计算的点)，计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段的长度可利用直角三角形中的勾股定理计算，即d=. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若BB1=AB=2，求点C到直线AB1的距离. 探究2点到平面的距离 点到平面的距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度.特殊地，当点在平面内时，该点到平面的距离为0.如图，平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，回答下列问题. 问题1：点P到平面α的距离是哪一个线段的长度 问题2：从向量投影的角度来看，点P到平面α的距离又是什么 问题3：根据向量投影的定义，你能得出点P到平面α的距离的表达式吗 设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离d=. 例2：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1(底面为正三角形，侧棱垂直于底面)中，侧棱长AA1=2，底面边长AB=1，N是CC1的中点. (1)求证：平面ANB1⊥平面AA1B1B. (2)求点B1到平面ABN的距离. 【方法总结】用向量法求点到平面的距离的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系. (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标. (3)求向量：求出相关向量的坐标(，平面α的法向量n). (4)求距离：d=. 提醒：用向量法求线面距、面面距时一般要转化为点面距. 如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求点A到平面A1BD的距离. 探究3线面距离 正方体是立体几何中最常见的几何体，立体几何中许多概念、定理都可以用正方体中的点、线、面的关系说明，因此正方体有“百宝箱”的美称，是考查立体几何知识的主要载体.如图，根据图形回答下列问题. 问题1：图中，CD1到平面A1BE的距 ... ...