【学霸笔记：同步精讲】第三章 §1 指数幂的拓展 课件--2026版高中数学北师大版必修第一册

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第三章　指数运算与指数函数 §1　指数幂的拓展 学习任务 核心素养 1．理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点) 2．了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用有理数指数幂逼近的思想方法．(易混点) 1．通过指数幂的拓展的学习，培养逻辑推理素养． 2．通过分数指数幂与根式的互化，培养数学运算素养． 1．正分数指数幂的定义是什么？ 2．负分数指数幂的定义是什么？ 必备知识·情境导学探新知 1．正分数指数幂 (1)定义：给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的次幂，记作b＝．这就是正分数指数幂． (2)性质：①当k是正整数时，分数指数幂满足：②＝． 2．负分数指数幂 给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，定义＝＝． 思考能否将＝－3写成＝－3 [提示]　不能．因为在指数幂的概念中，总有a>0．于是，尽管有＝－3，但不可以写成＝－3的形式． 体验1．把下列各式中的b(b>0)写成分数指数幂的形式： (1)b4＝35； (2)b-3＝32． [解]　(1)∵b4＝35，∴b＝． (2)∵b-3＝32，∴b＝． 体验2．计算： ＝_____； ＝_____． (1)2　(2)　[(1)设b＝，由定义，得b3＝8，b＝2，所以＝2． (2)由负分数指数幂的定义，得． 设b＝，由定义，得b3＝272＝93，b＝9，所以．] 2　 　 关键能力·合作探究释疑难 类型1　根式的化简与求值 【例1】　化简： (1)(x＜π，n∈N*)； (2)． [解]　(1)∵x＜π，∴x－π＜0． 当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x； 当n为奇数时，＝x－π． 综上可知， (2) 反思领悟　正确区分与 (1)表示a的n次方的n次方根，而表示a的n次方根的n次方，因此从运算角度看，运算顺序不同． (2)运算结果不同 ①＝a．② [跟进训练] 1．若xy≠0，则使＝－2xy成立的条件可能是(　　) A．x＞0，y＞0 　 B．x＞0，y＜0 C．x≥0，y≥0 　 D．x＜0，y＜0 √ B　[∵＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0． 又∵xy≠0，∴xy＜0，故选B．] 2．若，则实数a的取值范围为_____． 　[＝＝1－2a．因为|2a－1| ＝1－2a，故2a－1≤0，所以a≤．] 　 类型2　根式与分数指数幂的互化 【例2】　 (1)可化为(　　) A． 　 B． C． 　 D． (2)可化为(　　) √ √ [思路点拨]　熟练应用是解决该类问题的关键． (1)D　(2)A　[． (2) ．] 反思领悟　根式与分数指数幂的互化规律 (1)关于式子的两点说明 ①根指数n即分数指数的分母； ②被开方数的指数m即分数指数的分子． (2)通常规定中的底数a>0． [跟进训练] 3．将下列各根式化为分数指数幂的形式： (1)；(2)． [解]　(1)． (2)． 类型3　求指数幂的值 【例3】　【链接教材P77例2】 求下列各式的值： ；． [思路点拨]　结合分数指数幂的定义，即满足bn＝am时＝b(m，n∈N＋，a，b>0)求解． [解]　(1)设＝x，则x3＝642＝4 096， 又∵163＝4 096，∴＝16． (2)设＝x，则x4＝81-1＝， 又∵，∴． 【教材原题·P77例2】 例2　计算： ；　． [解]　(1)设b＝，由定义，得b2＝43＝64，b＝8(b＞0)，所以＝8． (2)由负分数指数幂的定义，得． 设b＝，由定义，得b3＝27，b＝3，所以． (3)由负分数指数幂的定义，得． 设b＝，由定义，得b2＝，即b＝(b＞0)，所以＝64． 反思领悟　解决此类问题时，根据分数指数幂的定义将分数指数幂转化为熟悉的整数指数幂，进而转化为正整数指数幂． [跟进训练] 4．求下列各式的值： ；． [解]　(1)设＝x，则x3＝125， 又∵53＝125，∴＝5． (2)设＝x，则x7＝128-1＝， 又∵，∴． 学习效果·课堂评估夯基础 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) 表示个2相乘． (　　) (a>0，m，n∈N ... ...