【学霸笔记：同步精讲】第二章 §2 2.1 函数概念 讲义--2026版高中数学北师大版必修第一册

§2　函数 2.1　函数概念 学习任务 核心素养 1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念．(重点、难点) 2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．(重点) 3．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．(重点、难点) 1．通过学习函数的概念，培养数学抽象素养． 2．借助函数的定义域的求解，培养数学运算素养． 1．函数的定义是什么 2．函数的自变量、定义域是如何定义的 3．函数的值域是如何定义的 知识点1　函数的有关概念 函数的定义 给定实数集R中的两个_____A和B，如果存在一个对应关系f ，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有_____的数y和它对应，那么就把对应关系f 称为定义在集合A上的一个函数 函数的记法 y＝f (x)，x∈A 定义域 _____称为函数的定义域，x称为自变量 值域 与x值对应的y值称为函数值，集合_____称为函数的值域 1．(1)有人认为“y＝f (x)”表示的是“y等于f 与x的乘积”，这种看法对吗 (2)f (x)与f (a)有何区别与联系 _____ 1．下图中能表示函数关系的是_____(填序号)． ①　　　　②　　　　③　　　　④ 2．函数f (x)＝的定义域是_____． 3．已知f (x)＝x2＋1，则f (－1)＝_____． 知识点2　同一个函数 　一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 2．(1)函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否为同一个函数，只看定义域和对应关系 (2)定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗 _____ _____ 4．给出下列三组函数，其中表示同一个函数的是_____(填序号)． ①f (x)＝x，g(x)＝； ②f (x)＝2x＋1，g(x)＝2x－1； ③f (x)＝x，g(x)＝． 类型1　函数的概念 【例1】　(1)下列各图中，不可能表示函数y＝f (x)的图象的是(　　) A　　　　B　　 　　C　　　　D (2)判断下列对应是否为集合A到集合B的函数． ①A＝R，B＝{x|x>0}，f ：x→y＝|x|； ②A＝Z，B＝Z，f ：x→y＝x2； ③A＝Z，B＝Z，f ：x→y＝； ④A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f ：x→y＝0． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 　1．判断一个对应是否是函数的方法 2．根据图形判断是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l． (2)在定义域内平行移动直线l． (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． [跟进训练] 1．下列对应是A到B的函数的有_____．(填序号) ①A＝{1，2，3}，B＝R，f (1)＝f (2)＝3，f (3)＝4； ②A＝R，B＝{正实数}，f ：y＝； ③A＝R，B＝R，f ：x→y＝； ④A＝Z，B＝Z，f ：x→y＝． 类型2　求函数值 【例2】　设f (x)＝2x2＋2，g(x)＝． (1)求f (2)，f (a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f (2))； (2)求g(f (x))． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 　求函数值的方法 (1)已知f (x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f (a)的值． (2)求f (g(a))的值应遵循由里到外的原则． [跟进训练] 2．已知函数f (x)＝－1，且f (a)＝3，则a＝_____． 类型3　判定同一个函数 【例3】　【链接教材P54例1】 下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．y＝与y＝1 B．y＝与y＝x C．y＝与y＝x D．y＝与y＝x－1 [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　判断同一个函数的三个步骤和两个注意点 (1)判断函数是否为同一个函数的三个步骤． (2)两个注意点． ①在化简解析式时，必须是等价变形； ②与用哪个字母表示无关． 提醒：不能将函数的解析式变形后求定义域． [跟进训练] ... ...