【学霸笔记：同步精讲】第二章 §4 4.1 函数的奇偶性 讲义--2026版高中数学北师大版必修第一册

§4　函数的奇偶性与简单的幂函数 4.1　函数的奇偶性 学习任务 核心素养 1．结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．(重点) 2．掌握函数奇偶性的判断和证明方法．(重点) 3．会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．(难点) 1．借助对函数奇偶性特征的学习，培养直观想象素养． 2．通过函数奇偶性的判断和证明，培养逻辑推理素养． 1．奇函数与偶函数的定义是什么 2．奇、偶函数的定义域有什么特点 3．奇、偶函数的图象有什么特征 4．函数的奇偶性与单调性有什么关系 1．奇函数 (1)定义：一般地，设函数f (x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有_____，且_____，那么称函数f (x)为奇函数． (2)图象特征：图象关于__对称，反之亦然． 2．偶函数 (1)定义：设函数f (x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有_____，且_____，那么称函数f (x)为偶函数． (2)图象特征：图象关于_____对称，反之亦然． 3．奇偶性 当函数f (x)是_____或_____时，称f (x)具有奇偶性． (1)如果定义域内存在x0，满足f (－x0)＝f (x0)，函数f (x)是偶函数吗 (2)函数的奇偶性定义中，对于定义域内任意的x，满足f (－x)＝f (x)或f (－x)＝－f (x)，那么奇、偶函数的定义域有什么特征 _____ _____ _____ 1．下列函数是偶函数的是_____(填序号)． ①y＝x；②y＝2x2－3；③y＝；④y＝x2，x∈[0，1]． 2．下列图象表示的函数是奇函数的是_____，是偶函数的是_____(填序号)． ①　 　 　②　　 　③　　　　④ 3．下列说法正确的是__(填序号)． ①偶函数的图象一定与y轴相交； ②奇函数的图象一定过原点； ③函数f (x)＝x2，x∈[－1，2]是偶函数； ④若函数f (x)是定义在R上的奇函数，则f (－x)＋f (x)＝0． 类型1　判断函数的奇偶性 【例1】　【链接教材P67例2】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x)＝2－|x|； (2)f (x)＝； (3)f (x)＝； (4)f (x)＝ [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　判断函数奇偶性的方法 (1)定义法： 根据函数奇偶性的定义进行判断．步骤如下： ①判断函数f (x)的定义域是否关于原点对称．若不对称，则函数f (x)既不是奇函数，也不是偶函数，若对称，则进行下一步． ②验证．f (－x)＝－f (x)或f (－x)＝f (x)． ③下结论．若f (－x)＝－f (x)，则f (x)为奇函数； 若f (－x)＝f (x)，则f (x)为偶函数； 若f (－x)≠－f (x)，且f (－x)≠f (x)，则f (x)既不是奇函数，也不是偶函数． (2)图象法： ①若f (x)图象关于原点对称，则f (x)是奇函数． ②若f (x)图象关于y轴对称，则f (x)是偶函数． ③若f (x)图象既关于原点对称，又关于y轴对称，则f (x)既是奇函数，又是偶函数． ④若f (x)的图象既不关于原点对称，又不关于y轴对称，则f (x)既不是奇函数，也不是偶函数． (3)性质法： ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数； ③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． [跟进训练] 1．已知f (x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，且它们都恒不为0，则f (x)·g(x)(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．奇偶性不能确定 2．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x)＝x2(x2＋2)； (2)f (x)＝|x＋1|－|x－1|； (3)f (x)＝． _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 类型2　利用函数的奇偶性求参数 【例2】　(1)若函数f (x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝__， b＝_____； (2)已知函数f (x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝_____． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 　利用奇偶性求参数的常见类型 (1)定义域含参数：奇、偶函数f (x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原 ... ...