【学霸笔记：同步精讲】第三章 §2 指数幂的运算性质 讲义--2026版高中数学北师大版必修第一册

§2　指数幂的运算性质 学习任务 核心素养 1．掌握指数幂的运算性质．(重点) 2．能用指数幂的运算性质对代数式进行化简与求值．(难点) 通过指数幂的运算，培养数学运算素养． 指数幂的运算性质有哪些？ 指数幂的运算性质 已知a>0，b>0，α∈R，β∈R， 1．aα·aβ＝aα＋β； 2．(aα)β＝aαβ； 3．(ab)α＝aα·bα． 以下计算正确吗？若计算错误，应该如何计算？ ＝－2． [提示]　错误，＝21＝2． 1．计算：×2-2＝_____． 　[原式＝．] 2．计算：＝_____． [答案]　 类型1　指数幂的运算 【例1】　【链接教材P80例1】 计算下列各式： －0.010.5； ＋16-0.75； (a>0，b>0)． [解]　(1)原式＝ ＝1＋． (2)原式＝0.4-1－1＋(－2)-4＋2-3＝． (3)原式＝． 【教材原题·P80例1】 例1　计算： -2；　3； ． [解]　-2＝； 3＝×23＝2-2×23＝2-2+3＝2； ． 　在进行幂和根式的化简时，一般先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，再利用幂的运算性质进行化简． [跟进训练] 1．计算： －3-1＋π0； (2)(a-2b-3)·(－4a-1b)÷(12a-4b-2c)； (3)2． [解]　(1)原式＝＋1＝0.3－． (2)原式＝－4a-2-1b-3+1÷(12a-4b-2c)＝a-3-(-4)b-2-(-2)c-1＝－． (3)原式＝＝． 类型2　对指数幂的运算性质的理解 【例2】　(1)下列函数中，满足f 的是(　　) A．f ＝4x 　 B．f ＝4－x C．f ＝2x 　 D．f ＝2－x ＝(　　) (1)D　(2)A　[(1)对于A项，f (x＋1)＝4x+1＝4×4x＝4f (x)，故A项错误；对于B项，f (x＋1)＝4－(x+1)＝f (x)，故B项错误；对于C项，f (x＋1)＝2x+1＝2×2x＝2f (x)，故C项错误；对于D项，f (x＋1)＝2－(x+1)＝f (x)，故D项正确．故选D．] ．] 　1．根据需要，指数幂的运算性质可正用、逆用和变形使用． 2．运用幂的运算性质化简时，其底数必须大于零，对于底数小于零的，要先化为底数大于零的形式．如先化为． [跟进训练] 2．下列运算结果中，正确的是(　　) A．a2·a3＝a6 　 B． C．＝a5 　 D．＝－a6 D　[a2·a3＝a5，A错； (－a2)3＝(－1)3×a2×3＝－a6，(－a3)2＝(－1)2×a3×2＝a6，B错； ＝a6，C错，故选D．] 类型3　根据条件求值 【例3】　【链接教材P81例4】 已知，求下列各式的值： (1)a＋a-1； (2)a2＋a-2． [解]　(1)将两边平方，得a＋a-1＋2＝5，所以a＋a-1＝3． (2)由(1)知a＋a-1＝3，两边平方，得a2＋a-2＋2＝9，所以a2＋a-2＝7． [母题探究] 　在本例条件不变的情况下，则a2－a-2＝_____． ±3　[令y＝a2－a-2，两边平方，得y2＝a4＋a-4－2＝(a2＋a-2)2－4＝72－4＝45， ∴y＝±3，即a2－a-2＝±3．] 【教材原题·P81例4】 例4　已知10α＝3，10β＝4，求的值． [解]　10α＋β＝10α×10β＝3×4＝12； 10α－β＝10α×10－β＝； 10-2α＝(10α)-2＝3-2＝； ． 　条件求值的步骤 [跟进训练] 3．已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求 的值． [解]　 ＝．① ∵a＋b＝12，ab＝9，② ∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108． ∵a＜b，∴a－b＝－6．③ 将②③代入①， 得． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)对任意实数a，am＋n＝aman． (　　) (2)当a>0时，＝amn． (　　) (3)当a≠0时，＝am－n． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√ ＝(　　) 　C．310　D．7 B　[] 3．已知＝5，则的值为(　　) A．5 　 B．23 C．25 　 D．27 B　[∵＝5， ∴x＋2＋x-1＝25， ∴x＋x-1＝23． ∴＝x＋x-1＝23．] 4．－的值为_____． 　[原式＝．] ＝_____． 110　[原式＝＝2＋22×33＝2＋4×27＝110．] 课时分层作业(二十一)　指数幂的运算性质 一、选择题 1．将化为分数指数幂为(　　) B　[] ．的值为(　　) A．－ 　 B． C． 　 D． D　[原式＝1－(1－22)÷＝1－(－3)×．故选D．] 3 ... ...