【学霸笔记：同步精讲】第五章 §1 1.1 利用函数性质判定方程解的存在性 讲义--2026版高中数学北师大版必修第一册

§1　方程解的存在性及方程的近似解 1.1　利用函数性质判定方程解的存在性 1．函数零点的概念是什么 2．如何判断函数的零点 3．零点存在定理的内容是什么 4．方程的根、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间有什么联系 1．函数的零点概念 (1)概念：使得_____的数x0称为方程f (x)＝0的解，也称为函数f (x)的零点． (2)方程、函数、图象之间的关系： 函数y＝f (x)的_____就是函数y＝f (x)的图象与_____，也就是方程f (x)＝0的解． 2．零点存在定理 若函数y＝f (x)在闭区间[a，b]上的图象是一条_____的曲线，并且在区间端点的函数值_____，即_____，则在开区间(a，b)内，函数y＝f (x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f (x)＝0至少有一个解． (1)函数的“零点”是一个点吗 (2)若f (a)·f (b)>0，那么函数y＝f (x)在区间(a，b)内一定没有零点吗 _____ _____ _____ _____ 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)所有的函数都有零点． (　　) (2)若方程f (x)＝0有两个不等实数解x1，x2，则函数y＝f (x)的零点为(x1，0)，(x2，0)． (　　) (3)若函数y＝f (x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f (a)·f (b)<0． (　　) 2．函数f (x)＝log2x的零点是(　　) A．1　 B．2 　 C．3　 D．4 类型1　求函数的零点 【例1】　求下列函数的零点． (1)f (x)＝x2＋7x＋6； (2)f (x)＝1－log2(x＋3)； (3)f (x)＝2x-1－3； (4)f (x)＝． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 　函数零点的两种方法 (1)代数法：求方程f (x)＝0的实数根； (2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f (x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． [跟进训练] 1．函数f (x)＝(lg x)2－lg x的零点为_____． 类型2　判断函数零点所在的区间 【例2】　已知函数f (x)＝x3－x－1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是(　　) A．(3，4)　 B．(2，3) 　 C．(1，2)　 D．(0，1) [尝试解答]　_____ _____ _____ 　确定函数f (x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f (x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f (a)·f (b)<0．若f (a)·f (b)<0，则函数y＝f (x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． [跟进训练] 2．函数f (x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是(　　) A．(－2，－1)　 B．(－1，0) C．(0，1)　 D．(1，2) 类型3　函数零点的个数问题 【例3】　判断下列函数零点的个数． (1)f (x)＝x2－； (2)f (x)＝ln x＋x2－3． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ [母题探究] 1．若本例(1)中的函数改为“f (x)＝x2＋2mx＋2m＋1”，且f (x)在区间(－1，0)和(1，2)内各有一个零点，求实数m的取值范围． _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 2．将本例(2)中的函数改为“f (x)＝2x＋lg(x＋1)－2”，试判断零点的个数． _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 　判断函数零点个数的四种常用方法 (1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点． (2)画出函数y＝f (x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数． (3)结合单调性，利用零点存在定理，可判定y＝f (x)在(a，b)上零点的个数． (4)转化成两个函数图象的交点问题． [跟进训练] 3．若abc≠0，且b2＝ac，则函数f (x)＝ax2＋bx＋c的零点的个数是_____． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数f (x)＝x－1的零点是x＝1，而不是(1 ... ...