【学霸笔记：同步精讲】第五章 §2 实际问题中的函数模型 讲义--2026版高中数学北师大版必修第一册

§2　实际问题中的函数模型 学习任务 核心素养 1．会用函数图象的变化刻画变化过程．(重点、难点) 2．能够用已知的函数模型刻画实际问题．(难点) 3．理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律．(重点、难点) 1． 通过把实际应用问题转化为数学问题，培养数学抽象素养． 2．通过利用函数模型解决实际问题，培养数学建模素养． 1．常见的函数模型有哪几种？ 2．解决函数应用题一般有哪几个步骤？ 1．常见的函数模型 (1)正比例函数模型：f (x)＝kx(k为常数，k≠0)； (2)反比例函数模型：f (x)＝(k为常数，k≠0)； (3)一次函数模型：f (x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)； (4)二次函数模型：f (x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)； (5)指数函数模型：f (x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)； (6)对数函数模型：f (x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)； (7)幂函数模型：f (x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)． (8)分段函数模型：f (x)＝ 2．应用函数模型解决问题的基本过程 用函数模型解应用题的四个步骤： (1)审题———弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； (2)建模———将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； (3)求模———求解数学模型，得出数学模型； (4)还原———将数学结论还原为实际问题． (1)对于解决实际应用问题时得到的函数，如何确定其定义域？ (2)求函数最大值或最小值的方法一般有哪些？ [提示]　(1)在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人必须为自然数等． (2)利用函数的单调性，利用基本不等式，利用基本初等函数的值域等． 1．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是(　　) A．y＝ax＋b 　 B．y＝ax2＋bx＋c C．y＝aex＋b 　 D．y＝a ln x＋b B　[因为图中的点基本分布在一条抛物线上，所以可选择的函数模型应为二次函数，故选B．] 2．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是(　　) A．y＝100x 　 B．y＝50x2－50x＋100 C．y＝50×2x 　 D．y＝100x C　[当x＝4时，A中，y＝400；B中，y＝700；C中，y＝800；D中，y＝1004．故选C．] 3．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到_____只． [答案]　300 类型1　利用二次函数模型解决实际问题 【例1】　某个体经营者把前六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表： 月投资A种商品的金属/万元 1 2 3 4 5 6 纯利润/万元 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 月投资B种商品的金额/万元 1 2 3 4 5 6 纯利润/万元 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 试经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才最合算．请你帮助制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并求出最大纯利润．(精确到0.1万元) [解]　以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，画出散点图，如图所示． 据此，可考虑用函数y＝－a(x－4)2＋2(a>0)　①表示投资A种商品的金额与其纯利润的关系，用y＝bx(b>0)　②表示投资B种商品的金额与其纯利润的关系． 把x＝1，y＝0.65代入①式，得0.65＝－a(1－4)2＋2，解得a＝0.15，经检验，解析式满足题意，故所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数解析式可近似地用y＝－0.15(x－4)2＋2来表示． 把x＝4，y＝1代入②式，解得b＝0.25，经检验，解析 ... ...