【学霸笔记：同步精讲】第一章 §4 4.3 一元二次不等式的应用 讲义--2026版高中数学北师大版必修第一册

4.3　一元二次不等式的应用 学习任务 核心素养 1．掌握简单的分式不等式的解法．(重点) 2．能够构建一元二次函数模型，解决实际问题．(重点、难点) 1．借助分式不等式的求解，培养数学运算素养． 2．通过构建一元二次函数模型，培养数学建模素养． 利用不等式解决实际问题的一般步骤是什么 1．分式不等式的解法 类型 同解不等式 >0(其中a，b，c，d为常数) 法一：或 法二：>0 ≥0(其中a，b，c，d为常数) 法一：或 法二： >k(其中a，b，c，d，k为常数) 先移项转化为>0，再求解对于分式不等式的其他类型，可仿照上述方法求解． 对于分式不等式的其他类型，可仿照上述方法求解． 已知集合A＝，则集合 RA与相等吗？ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 2．利用不等式解决实际问题的一般步骤 (1)选取合适的字母表示题中的未知数； (2)由题中所给的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； (3)求解所列出的不等式(组)； (4)结合题目的实际意义确定答案． 类型1　分式不等式的解法 【例1】　解不等式≤3． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 　分式不等式的一般解题步骤 (1)移项并通分，不等式右侧化为“0”； (2)转化为同解的整式不等式； (3)解整式不等式． [跟进训练] 1．不等式≥0的解集是(　　) A．[2，＋∞) B．(－∞，1]∪(2，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1)∪[2，＋∞) 类型2　不等式恒成立问题 【例2】　若x2－x＋3<0对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 　一元二次不等式在R上的恒成立问题 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 (2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 (3)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 (4)一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 注意：当不等式ax2＋bx＋c>0未说明为一元二次不等式时，对任意实数x∈R恒成立时满足的条件为 [跟进训练] 2．已知不等式ax2＋4x＋a>1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围． _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 类型3　一元二次不等式的实际应用 【例3】　【链接教材P39例5】 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点． (1)写出税收y(万元)与x的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 　解不等式应用题的步骤 [跟进训练] 3．某单位在对一个长800 m，宽600 m的荒地进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示．若要保证 绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围． _____ _____ _____ _____ _____ 1．不等式≥0的解集为(　　) A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1，或x≥2} C．{x|1≤x<2} D．{x|x>2，或x≤1} 2．不等式≥1的解集是(　　) A．{x|x<－1，或－1