2.3 两条直线的位置关系 导学案（2课时）（含答案） 2025-2026学年湘教版（2019）高中数学选择性必修第一册

2.3.2　两条直线的交点坐标 【学习目标】 1.进一步巩固两条直线的位置关系的相关知识.(数学抽象) 2.掌握两条直线相交位置关系的判定，学会求其交点坐标.(逻辑推理、数学运算) 3.理解直线系方程.(逻辑推理) 【自主预习】 1.直线l上的点与其方程Ax+By+C=0的解有什么样的关系 2.由两条直线l1，l2的方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不论m取何值，x-y+1=0与x-2my+3=0必相交. (　　) (2)两条直线l1与l2有无数个公共点，则l1∥l2. (　　) (3)在两条直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两条直线相交. (　　) 2.直线x=1和直线y=2的交点坐标是(　　). A.(2，2) B.(1，1) C.(1，2) D.(2，1) 3.下列各直线中，与直线2x-y-3=0相交的是(　　). A.2ax-ay+6=0(a≠0) B.y=2x C.2x-y+5=0 D.2x+y-3=0 【合作探究】 探究1　两条直线的交点坐标 观察图形，思考下列问题： 问题1：在两条直线方程联立的方程组中，每一个方程都可表示为一条直线，那么方程组的解表示什么 问题2：如何求上述两条直线的交点坐标 问题3：两条直线相交的条件是什么 方程组的解与两条直线的交点个数 方程组的解的情况 一组解 无解 无数组解 直线l1与l2的公共点个数 一个 零个 无数个 直线l1与l2的位置关系 相交 平行 重合 例1　(1)(多选题)下列选项中，正确的有(　　). A.直线l1：x-y+2=0和l2：2x+y-5=0的交点坐标为(1，3) B.直线l1：x-2y+4=0和l2：2x-4y+8=0的交点坐标为(2，1) C.直线l1：2x+y+2=0和l2：y=-2x+3的交点坐标为(-2，2) D.直线l1：x-2y+1=0，l2：y=x，l3：2x+y-3=0两两相交 (2)直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上，则k的值为(　　). A.-24 B.24 C.6 D.±6 判断下列各组中的直线l1与l2是否相交.若相交，求出它们的交点. (1)l1：x-4y-1=0，l2：x+2y-4=0. (2)l1：x-y-2=0，l2：x+y+2=0. (3)l1：x-3y-2=0，l2：2x-3y+1=0. 当k为何值时，直线l1：y=kx+3k-2与直线l2：x+4y-4=0的交点P在第一象限 探究2　经过两条直线交点的直线方程 问题：怎样表示经过两条直线交点的直线系方程 直线系方程 一般地，经过两条相交直线l1：A1x+B1y+C1=0和l2：A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程可表示为： (1)A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括l2的方程)； (2)m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(m，n不同时为零). 一、求过交点的直线方程 例2　求过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程. 【方法总结】经过两条直线交点的直线方程的求法： (1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程. (2)特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线方程，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程. 已知直线l经过原点，且经过直线2x+3y+8=0与x-y-1=0的交点，则直线l的方程为(　　). A.2x+y=0 B.2x-y=0 C.x+2y=0 D.x-2y=0 二、直线系过定点 例3　无论m为何值，直线l：(m+1)x-y-7m-4=0恒过一点P，求点P的坐标. 【方法总结】解含参数的直线过定点问题的策略 (1)任意给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点是否是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解. (2)若含有一个参数的二元一次方程能整理为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ是参数)的形式，就说明它表示的直线必过定点，该定点坐标可由方程组解得.若能整理成y-y0=k(x-x0)的形式，则表示的直线必过定点(x0，y0). 已知直线(a-2)y=(1+a)x-a，求证：无论a为何值，直线总经过第四象限. 【随堂检测】 1.直线x+2y-2=0与直线2x+y-3=0的交点坐标是(　　). A.(4，1) B.(1，4) C. D. 2.不论m为何实数，直线l：(m-1)x+(2m-3)y+m ... ...