1.4 数学归纳法 导学案（含答案） 2025-2026学年湘教版（2019）高中数学选择性必修第一册

1.4*　数学归纳法 【学习目标】 1.了解数学归纳法的原理.(数学抽象、逻辑推理) 2.掌握数学归纳法的步骤.(逻辑推理) 3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.(逻辑推理) 【自主预习】 对于数列{an}，已知a1=1，an+1=(n=1，2，3，…)，通过对n=1，2，3，4前4项的归纳，猜出其通项公式为an=.而在教材第39页中，根据多米诺骨牌游戏的原理给出证明，说明猜想是正确的，其证明步骤是什么 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法. (　　) (2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1. (　　) (3)用数学归纳法证明等式时，由n=k到n=k+1的推导过程中，等式的项数不一定增加了一项. (　　) 2.用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn=na1+d，假设当n=k时，公式成立，则Sk=(　　). A.a1+(k-1)d B. C.ka1+d D.(k+1)a1+d 3.用数学归纳法证明等式“1+2+3+…+(n+3)=”，第一步验证当n=1时，左边应取的项是　　　　. 4.用数学归纳法证明：++…+>-，假设当n=k时，不等式成立，则当n=k+1时，应推证的目标不等式是　　　　　　. 【合作探究】 探究1　数学归纳法 问题：在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N+)时命题成立；(2)(归纳递推)以“当n=k(k≥n0，k∈N+)时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫作数学归纳法. 例1　(1)用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=(a≠1，n∈N+)，在验证n=1成立时，左边计算所得的项是(　　). A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3 (2)用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=，则当n=k+1时，等式左边应在n=k的基础上加上　　　　　　. 【方法总结】 数学归纳法的三个关键点 (1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律. (3)利用假设是核心：在第二步证明n=k+1时，一定要利用归纳假设. 对于不等式k(k为正整数)，则n0=k+1. (2)证明不等式的第二步中，从n=k到n=k+1的推导过程中，一定要用到归纳假设，因为不运用归纳假设的证明不是数学归纳法. (3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小.第二种形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立 ... ...