4.5 函数的应用 【知识点1】零点 1 【知识点2】零点存在定理 3 【知识点3】由零点求参数 5 【知识点4】二分法 8 【知识点5】指数函数模型 10 【知识点6】对数函数模型 12 【知识点7】幂函数模型 16 1.知道函数零点的概念(重点)。 2.掌握函数零点存在定理(重难点)。 3.会求函数模型(重点)。 【知识点1】零点 1．函数的零点 (1)如果在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点． (2)的零点就是方程的实数根． (3)求函数的零点就是求相应方程的实数根 【例1】（2025春 高邮市期中）函数y＝3x﹣2的零点是（ ） A．﹣2 B．（0，﹣2） C． D． 【答案】C 【分析】直接求解即可． 【解答】解：令3x﹣2＝0，可得x． 故选：C． 【例2】（2025 台湾四模）函数f（x）＝log3（x﹣1）﹣2的零点为（ ） A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0） 【答案】A 【分析】根据题意，由函数零点的定义，令f（x）＝0，解对数方程，求出x的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，令f（x）＝log3（x﹣1）﹣2＝0，即， 所以x﹣1＝32，因此x＝10， 所以函数f（x）＝log3（x﹣1）﹣2的零点为10． 故选：A． 【例3】（2024秋 五华区期末）函数的零点个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】把函数的零点转化为方程的根，进一步转化为两函数图象交点的坐标求解． 【解答】解：由0，得， 函数y＝log2x与y都是（0，+∞）上的增函数， 且，， 且当x＞16时，函数y比y＝log2x增长的快， 则函数y与y＝log2x的图象只有两个交点，也就是函数的零点个数是2． 故选：C． 【例4】（2025春 湘阴县期末）函数f（x）＝lnx﹣1的零点是 ． 【答案】e． 【分析】根据函数零点的定义求解即可． 【解答】解：根据题意，f（x）＝lnx﹣1， 若f（x）＝lnx﹣1＝0，解得x＝e，即函数的零点是e． 故答案为：e． 【知识点2】零点存在定理 零点存在性的判定定理 (1)如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根． (2)函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标 例1： 【例5】（2025春 龙凤区校级期末）方程2x3+3x﹣6＝0的根所在的区间为（ ） A．[﹣1，0] B．[0，1] C．[1，2] D．[3，4] 【答案】C 【分析】利用零点存在定理可得出结果． 【解答】解：令f（x）＝2x3+3x﹣6， 故函数f（x）为定义在R上的连续函数， 易知函数为单调递增函数， 因为f（0）＝﹣6＜0，f（1）＝﹣1＜0，f（2）＝16＞0， 由零点存在定理可知，方程2x3+3x﹣6＝0的根所在的区间为[1，2]． 故选：C． 【例6】（2025春 昭通期中）函数的零点所在区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，确定函数单调性，利用零点存在性定理判断得解． 【解答】解：由题意可得的定义域为[0，+∞）， 又因为函数在[0，+∞）上都单调递增， 则函数f（x）在定义域[0，+∞）上单调递增， 而，， 所以f（x）的零点所在区间为． 故选：C． 【例7】（2025春 玉溪期末）函数f（x）＝8x3+2x﹣17的零点所在区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在定理，判断零点所在区间． 【解答】解：根据题意，对于函数f（x）＝8x3+2x﹣17， 由于y＝x3，y＝x都是R上的增函数，则函数f（x）＝8x3+2x﹣17是增函数， 又由f（1）＝10﹣17＝﹣7＜0，， 可知，故函数f（x）的零点所在的区间是． 故选：C． 【例8】（2025春 天津期末）已知函数f（x）＝x2﹣log0.3x，则该函数的零点所在区间是（ ） A．（0，0.3） B．（0.3，0.5） C．（0.5，1） D．（1，2） 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，根据函数的单调性及零点存在定理求解即可． ... ...
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