中小学教育资源及组卷应用平台 1.4 空间向量的应用--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一课时作业 一、选择题 1．若直线l的一个方向向量为,平面的一个法向量为,则直线l与平面所成的角为( ) A. B. C.或 D.或 2．若两条不重合的直线和的一个方向向量分别为，，则和的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.垂直 D.不确定 3．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则两平面的夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 4．正四棱锥中,,则直线与平面所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 5．如图,平面平面,四边形为正方形,四边形为菱形,,则直线,所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 6．直线的方向向量为，直线的方向向量为.若，则( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7．已知平面的方程为，直线l的方向向量为，则直线l与平面所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 8．在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9．已知直线l的倾斜角为，则l的方向向量可能为( ) A. B. C. D. 10．已知平面过点，其法向量为，则下列点在平面内的有( ) A. B. C. D. 11．如图，在空间直角坐标系中，为单位正方体，则下列结论中正确的有( ) A.直线的一个方向向量为 B.直线的一个方向向量为 C.平面的一个法向量为 D.平面的一个法向量为 三、填空题 12．点到直线的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，Q为P点在l上的射影，点P到直线l的距离为_____. 13．已知平面的一个法向量,直线l的方向向量,则直线l与平面所成角的正弦值为_____. 14．如图，下列正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足的是_____.(填序号) 15．在正方体中，点P、Q分别在、上，且，，则异面直线与所成角余弦值为_____. 四、解答题 16．设，是空间直线l上的点，求直线l的一个方向向量. 17．如图，在四棱锥中，底面，，，，，E是PC的中点.用向量方法证明： （1）； （2）平面. 18．如图,在四棱锥中,三角形是以AD为斜边的等腰直角三角形,,,,E为PD的中点. （1）证明:平面PAB; （2）若,求直线CE与平面PBC的夹角的余弦值. 19．如图，在正三棱柱中，D是棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值. 20．已知四棱锥如图所示，平面，，，. (1)证明：平面； (2)记平面平面，证明：； (3)求二面角的大小. 参考答案 1．答案：A 解析：设直线l与平面所成的角为,则． 因为,所以． 故选：A. 2．答案：A 解析：因为，所以与共线，所以两条不重合的直线和的位置关系是平行.故选A. 3．答案：D 解析：设两平面的夹角为， 又平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为， 所以． 故选：D． 4．答案：C 解析：建立如图所示的空间直角坐标系. 有图知, 由题得、、、. ,,. 设平面的一个法向量, 则,, 令,得,, . 设直线与平面所成的角为,则. 故选:C. 5．答案：C 解析：取的中点O,连接, 四边形为的菱形,所以, 由于平面平面,且两平面交线,,平面, 故平面,又四边形为正方形,故建立如图所示的空间直角坐标系, 不妨设正方形的边长为2,则,,,, 故,, 则,又 故, 故直线,所成角的正弦值, 故选:C 6．答案：B 解析：因为，所以，所以，解得. 7．答案：B 解析：根据题意，平面的一个法向量为， 设直线l与平面所成角为， 则， 故选：B. 8．答案：A 解析：以C为坐标原点，以，，所在直线分别为 x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系， 如下图所示：设， 则，，，， 可得， 设直线与所成的角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 9．答案：AC 解析：由题意得l的斜率为 A中，对应的斜率为，故A正确； B中，对应的斜率为，故B错误； C中，对应的斜率为，故C正确； D中，对应的斜率为，故D错误. 故选AC. 10．答案：ABD ... ...
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