【学霸笔记：同步精讲】第2章 2.1 2.1.2 基本不等式 讲义----2026版高中数学湘教版必修第一册

2.1.2　基本不等式 学习任务 核心素养 1．了解基本不等式的证明过程．(重点) 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小． 1．通过不等式的证明，培养逻辑推理素养． 2．借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养． 填写下表： a b 与的大小关系 1 4 16 2 2 … … (1)观察与的大小关系，从中你发现了什么结论？ (2)你能给出它的证明吗？ 知识点　基本不等式 (1)定理：对任意a，b∈R，a2＋b2_____2ab，当且仅当_____时等号成立． (2)推论：对任意正数a，b，，当且仅当_____时等号成立． 一般地，对于正数a，b，我们把_____称为a，b的算术平均数，_____称为a，b的几何平均数．把不等式(a＞0，b＞0)称为基本不等式． 常见变形：①ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． ②a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 不等式a2＋b2≥2ab与不等式中等号成立的条件一样吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立． (　　) (2)若a≠0，则a＋≥2＝2． (　　) (3)若a>0，b>0，则ab≤． (　　) 2．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　) A．a＝±1　　　 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0 类型1　对基本不等式的理解 【例1】　(多选题)下面四个推导过程正确的有(　　) A．若a，b为正实数，则≥2＝2 B．若a∈R，a≠0，则＋a≥2＝4 C．若x，y∈R，xy<0，则＝－≤－2＝－2 D．若a<0，b<0，则≤ab [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　对基本不等式的准确掌握要抓住2个方面 (1)不等式成立的条件是a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，的等号成立，即a＝b ＝；仅当a＝b时，的等号成立，即＝ a＝b． [跟进训练] 1．下列不等式的推导过程正确的是_____．(填序号) ①若x＞1，则x＋≥2＝2； ②若x＜0，则x＋＝－≤－2＝－4； ③若a，b∈R，则≥2＝2． 类型2　利用基本不等式比较大小 【例2】　(1)如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是(　　) A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P (2)已知a，b，c是两两不相等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是_____． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　1．在理解基本不等式时，要从形式到内涵中理解，特别要关注条件． 2．运用基本不等式比较 ... ...